勝率を計算する方法を教えてください

Question

競争馬のタイムは正規分布に従うとします。

馬A
期待値タイムT1
標準偏差σ1

馬B
期待値タイムT2
標準偏差σ2

こうなっているとした場合、馬Aが馬Bに勝つ確率をPythonで計算する方法を教えてください。

また、例えば、馬A、馬B、馬C、馬D、馬Eが走るレースがあるとして、
馬Aが1着、馬Bが2着、馬Cが3着になる確率を計算する方法を教えてください。

馬A
期待値タイムT1
標準偏差σ1

馬B
期待値タイムT2
標準偏差σ2

馬C
期待値タイムT3
標準偏差σ3

馬D
期待値タイムT4
標準偏差σ4

馬E
期待値タイムT5
標準偏差σ5

Comments

[otn]

プログラミングの問題じゃなくて、数学の問題ですね。
質問するサイトを間違えています。

Answer 1

解析的に解く方法もありますが、シミュレーションで近似解を計算するほうが直感的なので、以下にサンプルを載せておきます。

import numpy as np
import pandas as pd
import scipy.stats as stats

x1 = stats.norm.rvs(loc=115,scale= 8.0,size=10000)
x2 = stats.norm.rvs(loc=118,scale= 8.5,size=10000)
x3 = stats.norm.rvs(loc=125,scale=10.0,size=10000)
x4 = stats.norm.rvs(loc=128,scale= 9.0,size=10000)
ALL = pd.DataFrame([x1,x2,x3,x4],index=['x1','x2','x3','x4'])

result = np.argsort(ALL,axis=0)
np.sum((result.loc['x1',:]==0)&(result.loc['x2',:]==1))/10000

上記は、x1,x2,x3,x4のうち、X1が1位x2が2位になる確率を求めるための10000回のシミュレーションです。

上記は、前提としてx1～x4は独立して出現することを置いています。（つまり、x1の値が大きいとx2も大きくなるなどの依存関係がない）これにより、各々を独立してデータを取得したのちに比較しても問題ないことになります。気になるようでしたら、x1,x2,x3,x4の順に乱数を１つ求めるという処理を10000回繰り返すというコードに書き替えてください。

上記は簡易なものなので、もう少し厳密な手続きを踏みつつシミュレーション結果を得たいのであれば、pystanあたりを使うといいかと思います。

Comments

[RARUSAN]

ご回答ありがとうございます！
解析的に解く方法もあるとのことですが、そちらについてご教授いただくことは可能でしょうか。

二つの正規分布から確率を求める方法は以下のページを見つけたのですが、
三つ以上の正規分布の場合がよく分かりません。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1131274446

[R.Shigemori]

三つ以上のときは多変量正規分布とみなして所定の条件を満たす確率を求めればいいはずです。
二変量正規分布は、富士山のような山を上から見たイメージです。つまり縦横の軸がA-BとB-Cの差で、山の高さが両方を満たす確率です。よって、A>B>Cとなる確率は縦横が正の領域の体積になるので、積分すればいいことになります。あとはこの応用で多変量正規分布を定式化して所定の条件を満たす確率を積分すればいいでしょう。

[RARUSAN]

分かりやすいご説明ありがとうございます。
イメージを持つことができました！