クラウドサービスを始めて利用するのでイメージが出来ていなかったのですが
必要な環境(ツール?)をインストールする際にSQLiteを追加すれば使えるようになるだけで
HPで公開されている使用できるDBというのは、初期の段階で既に搭載されていて追加インストールは不要ですよ。という意味でしょうか・・・?
RDS のようなマネージドな DB をお探しなら、SQLite は見つからないかもしれません。
どうしても SQLite を使いたければ、ローカルマシンと同様にインストールしてください。
なぜSQLiteはあまり使用されていないのでしょうか。
「SQLite デメリット」で Google 検索するといろいろと情報が出てきますが、結局のところ「積極的に利用したい理由がない」というのが一番な気がします。
無料の DB を使いたいのであれば、他の DB(MySQL や PostgreSQL など)もありますし。