xyz方向ベクトルに行列を掛けて座標変換したい

Question

ある直方体のxyzそれぞれの軸方向の方向ベクトルを行列で変換するプログラムを書きました。(ここでいう変換とは、拡大縮小、回転、平行移動の意味です。)

#####方向ベクトルの位置が動的に変わる場合、変換行列などを該当ベクトルにそのまま乗算することで変化するべき方向ベクトルを算出するという考えは正しいでしょうか？

下図で青線で書かれたAfterの各軸方向の方向ベクトルを算出することが理想です。
(※OpenGLを考慮してるのでYとZを逆として考えてください。z軸に2.0拡大->y軸に2.0拡大)

#inckude <vector>
#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtx/euler_angles.hpp>
using namespace glm;

void a(mat4 &Trans, mat4 &Rotate, mat4 &Scale){

    // 各軸方向の方向ベクトルを1.0X1.0X1.0の立方体と仮定して初期化する
    std::vector<vec3> i_Dir = {
        vec3(1.0f,0.0f,0.0f),                 // ベクトルX軸方向
        vec3(0.0f,1.0f,0.0f),                 // ベクトルY軸方向
        vec3(0.0f,0.0f,1.0f)                  // ベクトルZ軸方向
    };

    // 各方向ベクトルの変化後を算出するために行列を方向ベクトルにかけてみる
    // 順番は回転 -> 拡大 -> 移動の順番
    for (int i=0; i<i_Dir.size(); i++){
        vec4 m_Dir[i] = Scale  *              // 回転行列
                        Rotate *              // 拡大縮小行列
                        Trans  *              // 平行移動行列
                        vec4(i_Dir[i], 1.0f); // とあるベクトル

        // 方向ベクトルには回転拡大移動の全ての行列が位置変換として必要に
        // なるのではないかと考えているため上記の式を作っている
        // しかし本当に上の式で正しいのかがわからない

    }

}

int main()
{
    // 変化の割合を示した3つの行列
    mat4 T = translate(mat4(1.0f), 0.0f,0.0f,1.0f);
    mat4 R = eulerAngleYXZ(0.0f,0.5f,0.0f);
    mat4 S = scale(mat4(1.0f), 1.0f,1.0f,2.0f);

    // 実行してみる
    a(T,R,S);
}

Answer 1

こんにちは。

ある直方体のxyzそれぞれの軸方向の方向ベクトルを行列で変換するプログラムを書きました。(ここでいう変換とは、拡大縮小、回転、平行移動の意味です。)

アフィン変換のことですね。

方向ベクトルの位置が動的に変わる場合、変換行列などを該当ベクトルにそのまま乗算することで変化するべき方向ベクトルを算出するという考えは正しいでしょうか？

私が知っている限りでは間違いです。アフィン変換行列をベクトルに対して直接適用できるのかどうかは把握していません。たぶんやっても意味はないと思います。アフィン変換は座標を変換します。ですので、もし、ベクトルを変換する場合は始点と終点のそれぞれの座標を変換します。

さて、変換後座標＝アフィン変換行列 x 変換前座標という式を使います。
ですので、拡大して回転して平行移動する場合、変換後座標＝平行移動行列 x 回転行列 x 拡大行列 x 変換前座標で処理することになります。（プログラムの方はコメントと式が一致していませんが、どちらにせよ順序は間違っているようです。）

Comments

[fana]

> アフィン変換行列をベクトルに対して直接適用できるのかどうかは把握していません。たぶんやっても意味はないと思います。アフィン変換は座標を変換します。
の意味がよくわかりません．
変換行列Aをベクトルvに左から掛けて v'=A*v みたいな変換を行うことはごくごく普通のことだと思うのですが，どうでしょうか．
おそらく，文内では「ベクトル」と「座標」が全く別の意味の言葉として使い分けがされているのだと見受けますが，であれば，そこらへんを補足しないと意味が通じ難いのでは，と感じます．

[Chironian]

お気づきのようにベクトルと座標は似て異なるものですね。
https://math.nakaken88.com/textbook/basic-vector-component-and-coordinate/

[Tololololo]

掛け方が逆でした。
質問文の通りに乗算していくと確かに図の通りの結果にはなりませんでした。

Answer 2

まず，

方向ベクトルの位置

という言葉がおかしい．（「方向ベクトル」とは言葉の通り，方向を表現するのであって，それに位置は無い．）

で，やりたいことは
【立方体の頂点のうちの４個の座標（=位置ベクトル）{ {0,0,0},{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1} }を座標変換したい】
なのだと思われる．
おそらく，拡大や平行の量を考える際に回転の影響を考えたくないだろうから，
拡大→回転→平行
の順に変換するのが，変換行列の成分を直感的に与えやすいと思う．

...は正しいでしょうか？

正しいかどうかは，やりたいことに対して，変換をどう考えているかに依るかと．
すなわち，
変換を常に，【「{0,0,0},{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}」から目的の｛位置，姿勢，サイズ｝への変換】
として扱うのか否か，かな？

Comments

[Tololololo]

拡大、移動、回転それぞれを順番に掛けて結果を出しました。
方向ベクトルに位置はありませんでした。

[Tololololo]

拡大、移動、回転それぞれを順番に掛けて結果を出しました。
方向ベクトルに位置はありませんでした。

Answer 3

        vec4 m_Dir[i] = Scale  *              // 回転行列
                        Rotate *              // 拡大縮小行列
                        Trans  *              // 平行移動行列
                        vec4(i_Dir[i], 1.0f); // とあるベクトル

これだと ズラして→縮めて→回す ことになりゃせんか?