pythonでランダムに正定値行列をつくるアルゴリズム。

Question

ランダムに2×2の正定値行列をつくりたいです。ここで、行列の各要素は-10から10の間とします。
どうしたらよいでしょうか。

なお、正定値行列とは固有値がすべて正の実正方行列です。実正方行列Aが正定値行列であることの必要十分条件として、「任意の非ゼロ縦ベクトルxに関して、(x^T)Ax >0が成り立つこと」が知られています。x^Tはxの転値です。

ランダムに行列を作ってみて、固有値を計算して、正定値行列だったら採用、そうじゃなかったら、棄却、というアイディアで実装しようかなと思っていますが、これでは計算コストがかさむので他にいい方法はないでしょうか。

Answer 1

ランダムに作成してそれが正定値行列が見つかるまで繰り返すというのは、効率が悪すぎます。

例えば、AA^T のように正定値であることが既知の行列を作成するのはどうでしょうか。

import numpy as np

a = np.random.uniform(-10, 11, (2, 2))
print(a)

spd = a.dot(a.T)
print(spd)

AA^T が正定値であることの証明

||_2 は行列の2ノルム

ちなみに (AA^T)^T = AA^T なので、正定値対称行列でもあります。

追記

AA^T の値の範囲を (-10, 10) に限定したい場合は作成したあとに (-10, 10) で minmax スケーリングしてください。

Answer 2

行列の各要素は「 -10 から 10 の間」の「整数」ですか？であれば、総当たりで計算しても計算量はそう膨大にならないのではないかと直感的には思いますが、いかがでしょう（私が何か重大なことを見落としているかもしれません）。

得た正定値行列のセットを何かにお使いになりたいのであれば、まず「正定値行列を総当たりで計算してそれを csv 等でファイルに保存する」ためのスクリプトを書いて、利用側ではその csv を読み込んで利用する、という風にするとよいのではないかと思います。

Comments

[physics303]

なるほど。２×２くらいだったら可能ですね
理想を言えば、整数ではなく実数にしたいところです。
（最終的には３×３に拡張予定です）

[gh640]

そうですか。実数にしたい、行列のサイズも大きくしていきたい、とのであれば、上のやり方では限界がある感じがしますね。

すみません、コメントしておきながらアレなのですが、私は正定値行列関連の定理をまったく覚えていないので、他によい方法がぱっと思い浮かびません :( 他の方からの回答を待ってみてください。

すでにチェックされたかもしれませんが、ぐぐると `sklearn` に `sklearn.datasets.make_spd_matrix()` という関数があるのが見つかりました。もしかしたらこのあたりがお役に立つかもしれないと思うのですがいかがでしょう。

- https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.datasets.make_spd_matrix.html

[physics303]

参考にしてみます。ありがとうございます。