エラーメッセージから察するに、 smtplib のエンコーディング処理で転んでいるようですね。

おそらくこんな感じに書き換えると良いかと思います。
Diffフォーマットで示します。
緑色でマーキングされている部分が追記した行、赤色（ピンク色）でマーキングされている部分が削除した行です。

申し訳ありませんが、動作検証はしておりませんので要参考資料参照でお願いします。

import smtplib
from smtplib import SMTPException
+ from email.mime.text import MIMEText

class SendMail:
    def __init__(self, sender, subject, contents):
        self.sender = sender
        self.subject = subject
        self.contents = contents

    def sendmail(self, recipients_text):
        # 接続先 SMTP サーバの定義
        smtp = smtplib.SMTP('smtp.office365.com', 587)  # FQDN とポート番号
        # 認証情報の定義
        user = self.sender  # SMTP サーバに接続するためのユーザ
        password = "password"

        # SMTP サーバへの接続とメールの送信
        try:
            smtp.ehlo()
            smtp.starttls()  # TLS の開始（以降の通信は暗号化される） 
            smtp.ehlo()
            smtp.login(user, password)  # SMTP サーバにログイン
            #ヘッダー
            header = 'To:' + recipients_text + '\n' + 'From: ' + self.sender + '\n' + 'Subject:' + self.subject + '\n'
            #本文
-            message_body = header + '\n' + self.contents + '\n\n'
+            message_body = MINEText(header + '\n' + self.contents + '\n\n')

            result = smtp.sendmail( self.sender, recipients_text.split(','), message_body )  # メールの送信
            smtp.quit()  # SMTP セッションの終了と TCP コネクションの切断
        except smtplib.SMTPException as e:
            print("エラーが起きました！送信できません")

 参考資料

• Python3で日本語のメールを送信 - Qiita
• 19.1.7. email.mime: メールと MIME オブジェクトを一から作成 — Python 3.5.3 ドキュメント
• 19.1.14. email: 使用例 — Python 3.5.3 ドキュメント

プログラムを以下のように変更することで成功いたしました。
エラー処理等、不足している部分もありますのでこれから改善できればと思います。

import smtplib
from smtplib import SMTPException
from email.mime.text import MIMEText
from email.header import Header

class SendMail:

    def __init__(self, sender, subject, contents):
        self.sender = sender
        self.subject = subject
        self.contents = contents

    def sendmail(self, recipients_text):
        # 接続先 SMTP サーバの定義
        smtp = smtplib.SMTP('smtp.office365.com', 587)  # FQDN とポート番号
        # 認証情報の定義
        user = self.sender  # SMTP サーバに接続するためのユーザ
        password = "password"

        # SMTP サーバへの接続とメールの送信
        try:
            smtp.ehlo()
            smtp.starttls()  # TLS の開始（以降の通信は暗号化される） 
            smtp.ehlo()
            smtp.login(user, password)  # SMTP サーバにログイン

            encoding = 'utf-8'
            message = MIMEText( self.contents.encode( encoding ), 'plain', _charset=encoding )
            message['Subject'] = Header( self.subject, encoding )
            message['From'] = self.sender
            message['To'] = recipients_text

            result = smtp.sendmail( self.sender, recipients_text.split(','), message.as_string() )  # メールの送信
            smtp.quit()  # SMTP セッションの終了と TCP コネクションの切断
        except smtplib.SMTPException as e:
            print("エラーが起きました！送信できません")

#送信者アドレス・送信内容
f = open("mail_content.txt", encoding='utf-8')
#1行目はスキップ
file_contents = f.readlines()
#送信者メールアドレス・件名・本文をテキストファイルから読み込み
Sender = file_contents[1]
Sender = Sender.rstrip("\n")
Subject = file_contents[2]
Subject = Subject.rstrip("\n")
Contents = ""
for i in range(3, len(file_contents)):
    Contents = Contents + file_contents[i]
f.close()

sendmail = SendMail(Sender, Subject, Contents)
sendmail.sendmail("BBB@example.com","CCC@example.com")