1と3のXORが2になる理由が知りたい

Question

いつもお世話になっております

初歩的な質問で大変恐縮なのですが、論理演算の排他的論理和(XOR)について質問があります。

yukicoderのこの問題で
排他的論理和は「負でない整数Aと負でない整数Bの排他的論理和は負でない整数Cであることがわかっています。」と書いてあるのですが、私の考えていたXORとイメージが違い違和感を感じています。

集合Aと集合Bがあるとき、XORは「AまたはB - AかつB」で表すことができると思っていました。
例えば、

A = {1,2,3}
B = {3,4,5}
AまたはBが{1,2,3,4,5},AかつBが{3}なので、{1,2,3,4,5} - {3}
なので、排他的論理和は{1,2,4,5}

だと思っていました。

Python3.6のコンソールで「1と3のXORは2」を試してみたところ確か2になっています。
考えてもわからなかったので答えをカンニングしています。なので、なぜ1 ^ 3をするのかというところからわかっていません。

>>> 1 ^ 3
2

先ほど書いたように、私の理解に則るなら
A = {1}
B = {3}
AまたはBは{1,3}, AかつBは空集合{} なので{1,3} - {} = {1,3}

となると思うのですが、1と3の排他的論理和が2になる理由を教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いいたします。

Answer 1

ビット演算(2進数計算)なのではないでしょうか？

• 3は2進数で11
• 1は2進数で01

これのXORを求めると10であり、10進数にすると2となります。
これを前提として数字を大きくして色々確かめて見て下さい。

Comments

[mofu_mofu]

miyabi-sunさん
迅速なご対応ありがとうございます。
２進数でXORのマスク演算をする、というやつですね。。最近覚えました。

XORで1に対応する桁の0と1が反転し、0だと変化しないので

01
XOR 11
-----------
10

となり、二進数の10は10進数の２なので１０進数の1と3の排他的論理和は10進数で2となるのですね。
理解いたしました。ご丁寧にありがとうございました。
一番速く回答をしていただいたのでBAとさせていただきます。

ありがとうございました。

Answer 2

おそらくですが、10進数の数字を一旦2進数に変換して考えないといけないかと思います。

10進数の「1」と「3」をそれぞれ2進数に変換すると「01」と「11」であり、各桁の排他的論理和（XOR）を取ってみると・・・

いかがでしょうか？

Comments

[mofu_mofu]

二進数は思いつきませんでした。
各行でXOR演算で1があるならば値を反転させるのですね。理解いたしました。
bassboneさんありがとうございました。