結論から言うと、XREAでは不可能なので別のサービスを利用してください。
その理由はXREAが所謂レンタルサーバだからです。
参考ページ: https://www.xrea.com/spec/
レンタルなサーバと言えば様々なものが想定されるはずなのですが、
日本国内で「レンタルサーバ」と呼ぶと、ApacheでWebサイトを公開することが前提のWebサーバを指すからです。
RubyやPythonも全てHTTPリクエストを受け取ったApacheが呼び出すCGI方式です。
従ってRubyやPython、PHP等…と対応言語は多いですが、
C言語等の別言語を経由して実行する独自モジュール系統は尽くインストール出来ません。
また、Node.jsはそもそも入って居ないので、Node.jsを動作させる事も不可能です。
解決方法はサーバーマシン自体を貸し出すサービスを利用してください。
VPSというサービスは仮想マシン上に切り出したLinuxOSがベースになっており、月額費用が非常に安いということが特徴です。
自宅にあるLinuxマシンさながらに使い倒せる上、
開発失敗したらマシンを消して作り直す事も簡単であり、好きなアプリを自由にインストールしたり開発して動かす事が可能です。
そちらの方向で検討してみてください。
おまけ: 規約的にどうなのか?
https://www.xrea.com/support/faq/tech/#techProgram
C言語のCGIは、ローカル環境でコンパイルしてからアップロードしてください。
ちょっと深めに調べた所、出来るか出来ないかだけで言えば可能のようです。
実際コンパイルしてバイナリになればC言語か否かという境界はかなり揺らぎます。
そしてNode.js自体はC言語(でしたっけ?)のバイナリですので、Node.jsの実行ファイルをスクリプトとセットでFTPでアップロードして実行すること自体は不正利用に当たらない可能性は高いでしょう。
(かなりの広義解釈を孕んでいます、真面目にサーバー運用したい方は公式に問い合わせてみてください)
その気になればJXCoreのようなツールと併用して
堂々とCGIとして動作させる事も可能なように思えます。
ただし、上記の通りXREAはレンタルサーバなので80番ポートは占拠されているでしょう。
他のポートもiptables等のファイアウォールにより止められている可能性が高いです。
結局C言語のようにバイナリファイルを持ち込んでCGIや外部コマンド実行という手段で動かすしかありません。
これどうなんでしょうね?
Node.jsの良さとして色んな記事で紹介されている事は出来ず、
LinuxやApacheの挙動に詳しい人が手慰みにハックするといった印象で、Node.jsが動作するとは言いづらいですね。
この辺の観点から、やはりオススメ出来ないということでVPSをオススメします。