そのアプリで収益化などをした際に、
まず、著作権法に違反するかどうかと、お金を取るか取らないかはほとんど関係ないです。ごく一部のケースで明示的に著作権法で「このケースは無料なら無許諾でOK」と書いてある場合だけ。この質問とは関係ないケースですね。
つまり、あなたがやろうとしているサービスを提供するにあたり、それを無料で提供するか有料で提供するかは、著作権法に違反するかどうかと関係ないです。
著作権法と関係ない話では、APIを利用して情報を得るのは、他人のサービスを使う訳なので、APIを利用する際に利用規程を承認しているはずです。その利用規程の範囲であればOKでしょう。利用規程に違反するのは契約違反なので、アカウント停止や、(多分そこまで手間を掛けない気がしますが)損害賠償を求めらるかもしれません。
著作権法の話に戻ると、APIで得た結果が著作物か?という多分判例が無さそうな(あるかどうかを調べたわけじゃ無いですが)問題になるかと思います。お書きのサービスは私が知らない物もありますが、得られるのはおそらく自分のサイトに関するファクト情報だけだと思うので、データについてはおそらく著作性は無い。ただし、公知の事実の羅列であっても、編集やデザインについての部分で著作性が認めら得るケースもあるというのは聞いた気がします。
が、まあ、APIの利用規程に「これこれの使い方はして良い」と書かれている範囲で使うのであれば、許諾を得ていることになるかと思いますので、上記の「著作権法と関係ない話では、~」に書いたことと合わせるとその範囲で使うのが良いかと思います。
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