数値解析学の台形公式の求め方がわからないです

Question

実現したいこと

積分の応用のプログラムで、f(x)=exp(-x^2)を０から１まで0.1ずつ刻む台形公式で求めたいです。

発生している問題・分からないこと

まず、自然対数の表し方がわからないです。あと、最後刻んだ台形の合計を求めるプログラムでunsupported operand type(s) for *: 'NoneType' and 'float'と出てしまいます。
ここで質問するには申し訳ないほど、無知なので色々教えてください。

該当のソースコード

import numpy as np

n=10
a=.0
b=1.0
h=(b-a)/n
x=a

def F(x):
  np.exp(-x*x)

for j in range(n):
   x=x+h
   if x==1.0:
     break


J=(np.sum(F(x)))*h/2

print('n=%d,h=%F,J=%F'%(n,h,J))

試したこと・調べたこと

• teratailやGoogle等で検索した
• ソースコードを自分なりに変更した
• 知人に聞いた
• その他

上記の詳細・結果

わからないことがわからなすぎて本当に申し訳ないです。

補足

特になし

Answer 1

台形公式 の「区間幅が等間隔の場合」の公式によれば，「端点（x = a, b）の関数値の半分と分割点の関数値の総和に区間幅を掛ける」ことで定積分の近似値が得られます。

下記に記述例を示しますが，分割点の配列（x_div）を求めるために numpy.arange() を用いました。

import numpy as np

def F(x):
    return np.exp(-x * x)

n = 10
a, b = 0, 1
h = (b - a) / n

x_div = np.arange(a + h, b - h / 2, h)
J = ((F(a) + F(b)) / 2 + np.sum(F(x_div))) * h

print('n = %d, h = %F, J = %F' % (n, h, J))
# n = 10, h = 0.100000, J = 0.746211

Comments

[lap._]

回答ありがとうございます！
(a + h, b - h / 2, h)とはどういうことか教えて頂けますでしょうか。

[little_street]

np.arange(start, stop, step) の start は最初の値を設定すれば良いですが stop は（その値を含めず）動作を止めるための値なので,分割点　x = a + h, a + 2h, a + 3h, ... , b - 2h, b - h を得るためには stop として b - h と b の間の値を設定する必要があり b - h/2 を使いました。なお，b を設定しても良さそうですが扱っているのが浮動小数点数であり a から h 単位で増やしていったときに誤差で b よりわずかに小さい値が得られるとそれも出力に含まれてしまう可能性があります（整数の場合はその心配はいりません）．

[lap._]

ご丁寧にありがとうございます！

Answer 2

あと、最後刻んだ台形の合計を求めるプログラムでunsupported operand type(s) for *: 'NoneType' and 'float'と出てしまいます。

こちらについては定義した関数で値を返していないのが原因です。
下記のようにすればエラーは解消されます。

def F(x):
    return np.exp(-x*x)

関数を修正して実行するとn=10,h=0.100000,J=0.018394と出力されました。

※ 計算結果が正しいかどうかは検証していません。