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トップ機械学習に関する質問オライリー社「pythonではじめる機械学習」94～95ページ、3次元空間で線形SVMで見つかった決定境界をもとの２つの特徴量として表示するコードで理解できない部分があります。

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回答編集履歴

11

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2020/05/23 16:32

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- このままでは線形分離できないので、Φ: (x, y) → (x, y, y^2) という関数で3次元空間に射影します。3次元空間上では線形分離できるようになるので、線形 SVM で学習できます。
91
+ このままでは線形分離できないので、Φ: (x, y) → (x, y, y^2) という関数で3次元空間に射影します。3次元空間上に射影したことで線形分離可能になったので、線形 SVM で学習できます。
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2020/05/23 16:32

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- このままでは線形分離できないので、Φ: (x1, x2) → (x1, x2, x2^2) という関数で3次元空間に射影します。3次元空間上では線形分離できるようになるので、線形 SVM で学習できます。
91
+ このままでは線形分離できないので、Φ: (x, y) → (x, y, y^2) という関数で3次元空間に射影します。3次元空間上では線形分離できるようになるので、線形 SVM で学習できます。
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2020/05/23 16:29

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File without changes

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修正

2020/05/23 16:27

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- このままでは線形分離できないので、Φ: (x1, x2) → (x1, x2, x2^2) という関数で3次元空間に射影します。
91
+ このままでは線形分離できないので、Φ: (x1, x2) → (x1, x2, x2^2) という関数で3次元空間に射影します。3次元空間上では線形分離できるようになるので、線形 SVM で学習できます。
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2020/05/23 16:27

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215
- decision_function(x, y, y^2) = 0 となる {(x, y)|x, y∈ℝ} が射影前の2次元において、決定境界となります。
215
+ {(x, y)|decision_function(x, y, y^2) = 0, x, y∈ℝ} が元の2次元空間において、決定境界となります。
216
216
 
217
217
  なので、decision_function(x, y, y^2) = 0 である等高線を contourf() で描画します。
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2020/05/23 16:26

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2020/05/23 16:24

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70
70
 
71
- # データを描画する。
72
-
73
71
  fig, ax = plt.subplots()
74
72
 
75
73
  class_colors = ListedColormap(["g", "k"])
76
74
 
77
75
  ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=class_colors)
78
76
 
77
+ ax.set_xlabel("Feature 0")
78
+
79
+ ax.set_ylabel("Feature 1")
80
+
79
- plt.show()
81
+ plt.show()
80
-
82
+
81
- ```
83
+ ```
82
-
83
-
84
-
84
+
85
+
86
+
85
- ![イメージ説明](4ba616b7f87151122b6dfbcbbfc85e08.jpeg)
87
+ ![イメージ説明](036baed9ee38ee684f918844f06a15b0.jpeg)
86
88
 
87
89
 
88
90
 
@@ -90,7 +92,43 @@
90
92
 
91
93
 
92
94
 
95
+ ```python
96
+
97
+ X_new = np.hstack([X, X[:, 1:] ** 2])
98
+
99
+
100
+
101
+ fig = plt.figure(figsize=(7, 7))
102
+
103
+ ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
104
+
105
+ ax.scatter(X_new[:, 0], X_new[:, 1], X_new[:, 2], c=y, cmap=class_colors)
106
+
107
+ ax.view_init(30, 30)
108
+
109
+ ax.set_xlabel("Feature 0")
110
+
111
+ ax.set_ylabel("Feature 1")
112
+
113
+ plt.show()
114
+
115
+ ```
116
+
117
+
118
+
93
- ![イメージ説明](13ecab51534b9fcaeb76fa57ab549d4c.jpeg)
119
+ ![イメージ説明](3ec79079b60dfa0ce697e2f8735932b2.jpeg)
120
+
121
+
122
+
123
+ fit() で学習します。
124
+
125
+
126
+
127
+ ```python
128
+
129
+ svc = LinearSVC().fit(X_new, y)
130
+
131
+ ```
94
132
 
95
133
 
96
134
 
@@ -144,58 +182,58 @@
144
182
 
145
183
  ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
146
184
 
185
+ # 学習データの点を可視化する。
186
+
187
+ ax.scatter(X_new[:, 0], X_new[:, 1], X_new[:, 2], c=y, cmap=class_colors)
188
+
189
+ # 射影した空間上の各点と分類超平面との距離を可視化する。
190
+
191
+ sc = ax.scatter(XX, YY, ZZ, c=dist, cmap="bwr", vmin=-15, vmax=15)
192
+
193
+ # 分類超平面を可視化する。
194
+
195
+ ax.plot_surface(XX, YY, plane, alpha=0.5)
196
+
197
+ ax.view_init(30, 30)
198
+
199
+ ax.set_xlabel("Feature 0")
200
+
201
+ ax.set_ylabel("Feature 1")
202
+
203
+ fig.colorbar(sc)
204
+
205
+ plt.show()
206
+
207
+ ```
208
+
209
+
210
+
211
+ ![イメージ説明](526a7253e975e19285e63902f7bc8f48.jpeg)
212
+
213
+
214
+
215
+ decision_function(x, y, y^2) = 0 となる {(x, y)|x, y∈ℝ} が射影前の2次元において、決定境界となります。
216
+
217
+ なので、decision_function(x, y, y^2) = 0 である等高線を contourf() で描画します。
218
+
219
+
220
+
221
+ ```python
222
+
223
+ fig, ax = plt.subplots()
224
+
225
+ class_colors = ListedColormap(["g", "k"])
226
+
227
+ # 決定境界を可視化する。
228
+
229
+ ax.contourf(
230
+
231
+ XX, YY, dist.reshape(XX.shape), levels=[dist.min(), 0, dist.max()], cmap="Set2"
232
+
233
+ )
234
+
147
235
  # データを可視化する。
148
236
 
149
- ax.scatter(X_new[:, 0], X_new[:, 1], X_new[:, 2], c=y, cmap=class_colors)
150
-
151
- # 射影した空間上の各点と分類超平面との距離を可視化する。
152
-
153
- sc = ax.scatter(XX, YY, ZZ, c=dist, cmap="bwr", vmin=-15, vmax=15)
154
-
155
- # 分類超平面を可視化する。
156
-
157
- ax.plot_surface(XX, YY, plane, alpha=0.5)
158
-
159
- ax.view_init(30, 30)
160
-
161
- ax.set_xlabel("x")
162
-
163
- ax.set_ylabel("y")
164
-
165
- fig.colorbar(sc)
166
-
167
- plt.show()
168
-
169
- ```
170
-
171
-
172
-
173
- ![イメージ説明](6f9fd69905ad5c7069e81b6187125654.jpeg)
174
-
175
-
176
-
177
- decision_function(x, y, y^2) = 0 となる {(x, y)|x, y∈ℝ} が射影前の2次元において、決定境界となります。
178
-
179
- なので、decision_function(x, y, y^2) = 0 である等高線を contourf() で描画します。
180
-
181
-
182
-
183
- ```python
184
-
185
- fig, ax = plt.subplots()
186
-
187
- class_colors = ListedColormap(["g", "k"])
188
-
189
- # 決定境界を可視化する。
190
-
191
- ax.contourf(
192
-
193
- XX, YY, dist.reshape(XX.shape), levels=[dist.min(), 0, dist.max()], cmap="Set2"
194
-
195
- )
196
-
197
- # データを可視化する。
198
-
199
237
  ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=class_colors)
200
238
 
201
239
  plt.xlabel("Feature 0")

4

修正

2020/05/23 16:24

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tiitoi
tiitoi

スコア21956

test CHANGED
@@ -6,15 +6,11 @@
6
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7
7
 
8
8
 
9
- 1. XX, YY, ZZ はそれぞれ (50, 50) の2次元配列で、`ndarray.ravel()` で1次元配列につぶしているので、それぞれ (2500,) の1次元配列になる。
9
+ 1. `XX, YY, ZZ` はそれぞれ (50, 50) の2次元配列であり、`ndarray.ravel()` でそれぞれ (2500,) の1次元配列に変更しています。
10
-
10
+
11
- 1. `numpy.c_[XX.ravel(),YY.ravel(),ZZ.ravel()]` で結合しているので、(2500, 3) の2次元配列になる。
11
+ 1. `numpy.c_[XX.ravel(),YY.ravel(),ZZ.ravel()]` で3つの1次元配列を横方向に結合しているので、(2500, 3) の2次元配列になります。
12
-
13
-
14
-
12
+
15
- これを `decision_function()` に渡しています。
13
+ この (2500, 3) の2次元配列を `decision_function()` に渡しています。
16
-
17
- `decision_function()` は (N, 特徴量の次元数) の2次元配列を渡す必要があるため、このようにしています。
18
14
 
19
15
 
20
16
 
@@ -36,7 +32,7 @@
36
32
 
37
33
 
38
34
 
39
- dec.reshape(XX.shape) としているのは、contourf() の仕様上、dec の形状 (2500,) を XX, YY に合わせて (50, 50) にしなければいけないためです。
35
+ `dec.reshape(XX.shape)` としているのは、contourf() の仕様上、`dec` の形状 (2500,) を XX, YY に合わせて (50, 50) にしなければいけないためです。
40
36
 
41
37
 
42
38
 
@@ -44,7 +40,7 @@
44
40
 
45
41
 
46
42
 
47
- 特徴空間 S = {(x, y, y**2)|x∈ℝ, y∈ℝ} 上のデータについて、今回考えています。特徴空間 S 上から適当な個数のサンプルを以下で生成しています。
43
+ [線形分離](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%88%86%E9%9B%A2%E5%8F%AF%E8%83%BD)できない2次元のデータが与えられたとします。
48
44
 
49
45
 
50
46
 
@@ -52,124 +48,164 @@
52
48
 
53
49
  import matplotlib.pyplot as plt
54
50
 
55
- import mglearn
56
-
57
51
  import numpy as np
58
52
 
53
+ from matplotlib.colors import ListedColormap
54
+
55
+ from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
56
+
59
57
  from sklearn.datasets import make_blobs
60
58
 
61
59
  from sklearn.svm import LinearSVC
62
60
 
63
61
 
64
62
 
65
- # (N, 3) のデータと (N,) のラベルを作成
63
+ # 2次元のデータを作成する。
66
64
 
67
65
  X, y = make_blobs(centers=4, random_state=8)
68
66
 
69
67
  y = y % 2
70
68
 
69
+
70
+
71
+ # データを描画する。
72
+
71
- X_new = np.hstack([X, X[:, 1:] ** 2])
73
+ fig, ax = plt.subplots()
72
-
73
-
74
-
75
- # 学習
74
+
76
-
77
- linear_svm_3d = LinearSVC().fit(X_new, y)
75
+ class_colors = ListedColormap(["g", "k"])
76
+
77
+ ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=class_colors)
78
+
79
+ plt.show()
78
80
 
79
81
  ```
80
82
 
81
83
 
82
84
 
85
+ ![イメージ説明](4ba616b7f87151122b6dfbcbbfc85e08.jpeg)
86
+
87
+
88
+
89
+ このままでは線形分離できないので、Φ: (x1, x2) → (x1, x2, x2^2) という関数で3次元空間に射影します。
90
+
91
+
92
+
83
- ![イメージ説明](360d395eb04a70afec407c4e1556821d.jpeg)
93
+ ![イメージ説明](13ecab51534b9fcaeb76fa57ab549d4c.jpeg)
84
-
85
-
86
-
87
- 青の曲面が特徴空間、黄色、黒の点が生成されたサンプル
94
+
88
-
89
-
90
-
95
+
96
+
91
- SVM の学習は、データ `X_new` とラベル `y` を渡して、以下で行っています。
97
+ 射影した空間 {(x, y, y^2)|x, y∈ℝ} 上の各点と分類超平面との距離を [decision_function()](https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.svm.SVC.html#sklearn.svm.SVC.decision_function) で計算します。
92
98
 
93
99
 
94
100
 
95
101
  ```python
96
102
 
103
+ # 射影した空間上の点を作成する。
104
+
105
+ xs = np.linspace(X_new[:, 0].min() - 2, X_new[:, 0].max() + 2, 50)
106
+
107
+ ys = np.linspace(X_new[:, 1].min() - 2, X_new[:, 1].max() + 2, 50)
108
+
109
+ XX, YY = np.meshgrid(xs, ys)
110
+
97
- # 学習
111
+ ZZ = YY ** 2
112
+
113
+
114
+
98
-
115
+ # 作成した点と分類超平面との距離を計算する。
116
+
117
+ dist = svc.decision_function(np.c_[XX.ravel(), YY.ravel(), ZZ.ravel()])
118
+
119
+
120
+
121
+ # SVM の超平面を計算する。
122
+
123
+ def hyper_plane(svc, XX, YY):
124
+
125
+ a1, a2, a3 = svc.coef_[0]
126
+
127
+ b = svc.intercept_[0]
128
+
129
+ return (-b - a1 * XX - a2 * YY) / a3
130
+
131
+
132
+
133
+
134
+
99
- linear_svm_3d = LinearSVC().fit(X_new, y)
135
+ plane = hyper_plane(svc, XX, YY)
136
+
137
+
138
+
139
+
140
+
141
+ # 可視化する。
142
+
143
+ fig = plt.figure(figsize=(9, 7))
144
+
145
+ ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
146
+
147
+ # データを可視化する。
148
+
149
+ ax.scatter(X_new[:, 0], X_new[:, 1], X_new[:, 2], c=y, cmap=class_colors)
150
+
151
+ # 射影した空間上の各点と分類超平面との距離を可視化する。
152
+
153
+ sc = ax.scatter(XX, YY, ZZ, c=dist, cmap="bwr", vmin=-15, vmax=15)
154
+
155
+ # 分類超平面を可視化する。
156
+
157
+ ax.plot_surface(XX, YY, plane, alpha=0.5)
158
+
159
+ ax.view_init(30, 30)
160
+
161
+ ax.set_xlabel("x")
162
+
163
+ ax.set_ylabel("y")
164
+
165
+ fig.colorbar(sc)
166
+
167
+ plt.show()
100
168
 
101
169
  ```
102
170
 
103
171
 
104
172
 
105
- 特徴空間 S 上に点を沢山作成して、各点の分離超平面からの距離を計算します。
173
+ ![イメージ説明](6f9fd69905ad5c7069e81b6187125654.jpeg)
174
+
175
+
176
+
177
+ decision_function(x, y, y^2) = 0 となる {(x, y)|x, y∈ℝ} が射影前の2次元において、決定境界となります。
178
+
179
+ なので、decision_function(x, y, y^2) = 0 である等高線を contourf() で描画します。
106
180
 
107
181
 
108
182
 
109
183
  ```python
110
184
 
111
- xx = np.linspace(X_new[:, 0].min() - 2, X_new[:, 0].max() + 2, 50)
112
-
113
- yy = np.linspace(X_new[:, 1].min() - 2, X_new[:, 1].max() + 2, 50)
114
-
115
- XX, YY = np.meshgrid(xx, yy)
185
+ fig, ax = plt.subplots()
186
+
116
-
187
+ class_colors = ListedColormap(["g", "k"])
188
+
189
+ # 決定境界を可視化する。
190
+
117
- ZZ = YY ** 2
191
+ ax.contourf(
118
-
192
+
119
- dec = linear_svm_3d.decision_function(np.c_[XX.ravel(), YY.ravel(), ZZ.ravel()])
193
+ XX, YY, dist.reshape(XX.shape), levels=[dist.min(), 0, dist.max()], cmap="Set2"
194
+
195
+ )
196
+
197
+ # データを可視化する。
198
+
199
+ ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=class_colors)
200
+
201
+ plt.xlabel("Feature 0")
202
+
203
+ plt.ylabel("Feature 1")
204
+
205
+ plt.show()
120
206
 
121
207
  ```
122
208
 
123
209
 
124
210
 
125
- ![イメージ説明](f3d3d3b5222c36db5aaebdabc0a12709.jpeg)
126
-
127
- 色は分類超平面からの距離を表す
128
-
129
-
130
-
131
- この図の等高線を描画しているのが以下です。
132
-
133
- 等高線を引く位置は `dec.min(), 0, dec.max()` の3つにしており、dec==0 の等高線が分離超平面からの距離が0ということなので、つまり、これが分離超平面になります。
134
-
135
-
136
-
137
- ```
138
-
139
- plt.contourf(
140
-
141
- XX,
142
-
143
- YY,
144
-
145
- dec.reshape(XX.shape),
146
-
147
- levels=[dec.min(), 0, dec.max()],
148
-
149
- cmap=mglearn.cm2,
150
-
151
- alpha=0.5,
152
-
153
- )
154
-
155
- mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
156
-
157
- plt.xlabel("Feature 0")
158
-
159
- plt.ylabel("Feature 1")
160
-
161
- ```
162
-
163
-
164
-
165
- ![イメージ説明](53e7836ba3d1d009aa428e22d7a586b5.jpeg)
211
+ ![イメージ説明](ee23606b23b8d2debce89dce1f583732.jpeg)
166
-
167
-
168
-
169
- ## コメント
170
-
171
-
172
-
173
- 書籍は持っていないのですが、特徴量の次元が3次元になっているので、決定境界の可視化を学ぶという目的には難解なサンプルだと思います。
174
-
175
- 2次元の特徴量を使って確認したほうが理解しやすいと思います。

3

修正

2020/05/23 16:17

投稿

tiitoi
tiitoi

スコア21956

test CHANGED
File without changes

2

修正

2020/05/23 13:00

投稿

tiitoi
tiitoi

スコア21956

test CHANGED
@@ -124,9 +124,13 @@
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124
 
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  ![イメージ説明](f3d3d3b5222c36db5aaebdabc0a12709.jpeg)
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126
 
127
+ 色は分類超平面からの距離を表す
128
+
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129
 
128
130
 
129
131
  この図の等高線を描画しているのが以下です。
132
+
133
+ 等高線を引く位置は `dec.min(), 0, dec.max()` の3つにしており、dec==0 の等高線が分離超平面からの距離が0ということなので、つまり、これが分離超平面になります。
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131
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132
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1

修正

2020/05/23 13:00

投稿

tiitoi
tiitoi

スコア21956

test CHANGED
@@ -36,7 +36,7 @@
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- dec.reshape(XX.shape) としているのは、contourf() の仕様上、dec の形状は (2500,) を XX, YY に合わせて (50, 50) にしなければいけないためです。
39
+ dec.reshape(XX.shape) としているのは、contourf() の仕様上、dec の形状 (2500,) を XX, YY に合わせて (50, 50) にしなければいけないためです。
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@@ -44,7 +44,7 @@
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- x, y を実数としたとき、特徴空間 S = (x, y, y**2) 上のデータについて、今回考えています。特徴空間 S 上から適当な個数のサンプルを以下で生成しています。
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+ 特徴空間 S = {(x, y, y**2)|x∈ℝ, y∈ℝ} 上のデータについて、今回考えています。特徴空間 S 上から適当な個数のサンプルを以下で生成しています。
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@@ -84,7 +84,7 @@
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- 青の曲面が特徴空間、点が生成されたサンプル
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+ 青の曲面が特徴空間、黄色、黒の点が生成されたサンプル
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