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rubato6809

rubato6809 score 1112

2020/01/21 12:26  投稿

浮動小数点には誤差があるからです。
当たり前ですが、2進数を使う計算機は小数も2進数で計算します。2進数の小数の基本は 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ... つまり**2のべき乗分の1です。その和で小数を表わす**ことです。たとえば2進数の 0.101 は 10進数だと
1/2 + 1/8 = 0.5 + 0.125 = 0.625
といった具合です。float や double は、このやり方を応用しています(が、これだけじゃないので正確な形式は調べること)。
では、**2のべき乗分の1を、どう足し合わせたら10進数の0.1にちょうど等しくなるでしょうか**。
10進数の 0.625 は2進数で 0.101 と表わすことができ、誤差はありません。しかし10進数の 0.1 は2進数だと循環小数になります(正確な値はググればみつかるかも)。循環小数であれば無限のビット数が必要ですが、そんな 0.1 を有限のビット数で表わした上で計算せざるを得ないので、浮動小数点数に誤差は避けられません。
その誤差を確認する方法があります。
私達が普通に使うCコンパイラの多くは float 型は 32bit の形式なので、たいてい次のプログラムを試せるはずです。"%.10f" として小数点以下の表示精度を上げることと、ビット表現を確認するようにしました。質問者の環境でも動作すると思います。お試しあれ。
```C
#include <stdio.h>
#include <stdint.h> // uint32_t を使うため
void show(float f)  // %fと、ビット表現を16進数で表示する
{
   union {
       float f;
       uint32_t u; // さもなくば unsigned int
   } d;
   d.f = f;
   printf("%.10f = 0x%x\n", d.f, d.u);
}
void main( void ) {
   float num;
   for (num = 0.0; num <= 1.0; num += 0.1)
       printf("%f\n", num);
   show(num);   // 足した結果
   show(1.0);   // 正確な 1.0
}
```
私の手元の実行結果は次の通り。
```sh
$ ./a.out
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.0000001192 = 0x3f800001
1.0000000000 = 0x3f800000
```
1 %.10f に変更

rubato6809

rubato6809 score 1112

2020/01/21 12:24  投稿

浮動小数点には誤差があるからです。
当たり前ですが、2進数を使う計算機は小数も2進数で計算します。2進数の小数の基本は 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ... つまり**2のべき乗分の1です。その和で小数を表わす**ことです。たとえば2進数の 0.101 は 10進数だと
1/2 + 1/8 = 0.5 + 0.125 = 0.625
といった具合です。float や double は、このやり方を応用しています(が、これだけじゃないので正確な形式は調べること)。
では、**2のべき乗分の1を、どう足し合わせたら10進数の0.1にちょうど等しくなるでしょうか**。
10進数の 0.625 は2進数で 0.101 と表わすことができ、誤差はありません。しかし10進数の 0.1 は2進数だと循環小数になります(正確な値はググればみつかるかも)。循環小数であれば無限のビット数が必要ですが、そんな 0.1 を有限のビット数で表わした上で計算せざるを得ないので、浮動小数点数に誤差は避けられません。
その誤差を確認する方法があります。
私達が普通に使うCコンパイラの多くは float 型は 32bit の形式なので、たいてい次のプログラムを試せるはずです。質問者の環境でも動作すると思います。お試しあれ。
私達が普通に使うCコンパイラの多くは float 型は 32bit の形式なので、たいてい次のプログラムを試せるはずです。"%.10f" として小数点以下の表示精度を上げることと、ビット表現を確認するようにしました。質問者の環境でも動作すると思います。お試しあれ。
```C
#include <stdio.h>
#include <stdint.h> // uint32_t を使うため
void show(float f)  // %fと、ビット表現を16進数で表示する
{
   union {
       float f;
       uint32_t u; // さもなくば unsigned int
   } d;
   d.f = f;
   printf("%f = 0x%x\n", d.f, d.u);
   printf("%.10f = 0x%x\n", d.f, d.u);
}
void main( void ) {
   float num;
   for (num = 0.0; num <= 1.0; num += 0.1)
       printf("%f\n", num);
   show(num);   // 足した結果
   show(1.0);   // 正確な 1.0
}
```
私の手元の実行結果は次の通り。
```sh
$ ./a.out
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000 = 0x3f800001
1.000000 = 0x3f800000
1.0000001192 = 0x3f800001
1.0000000000 = 0x3f800000
```
正確な 1.0 が 0x3f800000 なのに対し、0.1 を10回足した結果は 0x3f800001 となり、一致していません。僅か1bitですが大きな値だということが確認できました。これは 0.1 をfloat型に変換した時点で生じた誤差が蓄積された結果と考えられます。
表示精度を上げると num = 1.0000001192 と、1.0 より大きな値になっていること、ビット表現を確認すると、正確な 1.0 が 0x3f800000 なのに対し、0.1 を10回足した結果は 0x3f800001 となり、一致していません。僅か1bitですが、それが 0.0000001192 程の差であることが確認できます。これは 0.1 をfloat型に変換した時点で生じた誤差が、足し算を繰り返して蓄積された結果です。

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