空白のDateTimePicerで同じ日付が選択されたときにデータを再表示したい

前提・実現したいこと

C#と.NetFrameworkを使用してWebフォームアプリケーションを作成しています。
仕様上DateTimePicerの値をユーザーが入力したくない可能性があるため、空白にする必要があります。
下記の動作で悩んでいるのでアドバイスのご教授お願いします。

「動作手順」
①2020/01/01を選択後
②「Delete」キーを押下
→CustomFormat に「」(半角スペース)を設定し、見た目上DateTimePicerを空白にする。
③再度①と同じ日付を選択
④DateTimePicerのValue値はすでに①で選択されているものが設定されているため、③の操作をしてもValueChangedイベントが発生せず空白のままになってしまう。

操作手順②で1900/01/01などのユーザーが設定しないであろう日付データを設定してもいいかと思ったのですが、
次にカレンダーマークをクリックすると、1900/01/01が選択されている状態であり、ユーザーとしては非常に使い勝手が悪いです。

ValueChangedイベントが発生すればいいのですが、、、何かこの状況を打破できる案はないでしょうか。
よろしくお願いします。

該当のソースコード

        // DateTimePicerキーダウンイベント
        private void DateTimePicer_KeyDown(object sender, KeyEventArgs e)
        {
            // 「Delete」キーが押されたときDateTimePicerの表示を消したいため
            // カスタムフォーマットを半角スペースにする
            if (e.KeyData == Keys.Delete)
                this.InputDate.CustomFormat = " ";
        }

        // DateTimePicer入力日変更イベント
        private void DateTimePicer_ValueChanged(object sender, EventArgs e)
            => this.InputDate.CustomFormat = "yyyy/MM/dd";

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

NET Core 3.1 SDK
VisualStudio 2019 Professional

Navina

2022/03/03 00:00

今一度イベントを探していたらCloseUp（ユーザーがドロップダウンカレンダー空日付を選択し終えた時に発生するイベント）を発見しました。 ValueChangedをCloseUpイベントに変更するとうまくいくかなと思われたのですが、カレンダーを開いて、その後日付を選択せずにカレンダーを閉じると今の日付が入力されてしまう状況でした。