Flutterのことはよくわからないですが、Unityであれば、Unity自身に、アニメーションを作成できる機能があります。ボーンを入れて動かすこともできますし、パラパラ漫画のような表現もできます。
Unityと連携できるアニメーションソフトでは、
Spine
が一番メジャーな気がします。
ボーンタイプのアニメーションが作成できます。
Spine自身が、Unityをターゲットにしたソフトなので、Unityとの親和性が高いです。
Spineは、ゲームに登場するキャタクターにいろんなモーションを設定することを想定されたソフトです。
1つのキャラに、走る・ジャンプ・倒れるなどのアニメーションをつけていくようなイメージです。
Live2D
Live2Dも、Unityに持っていくことができます。
こちらも、ボーンタイプのアニメーションをつけることができます。
こちらは、主にVTuber用のアニメーションを想定しているものです。
ですので、VTuberの動きを思い出していただくと、どのようなアニメーションをつけられるかが想像つきやすいと思います。
顔を左右に向けたり、腕を動かしたり、瞬きしたり、口パクしたり、1つのキャラクターに色んなモーションをつけるようなアニメーションソフトです。
Live2Dの最大の特徴は、2Dでありながら、3Dっぽい動きをさせることができることです。
Adobe AnimateCC
Flash Animation Toolsetというアセットを使うことで、AnimateCCのアニメーションを、そのままUnityに持っていくことができます。
ただ、自由度が低く、読み込んだAnimateCCクリップの、再生・停止・ループ再生くらいしかできません。(再生は、ラベルをつけた位置から再生可)
ただ、AnimateCCでアニメーションを作り慣れている人には、有用だと思います。
アニメーションをUnityでプログラム制御したいのであれば、正直、Unityのアニメーション機能を使うのが一番便利な気がします。直す時、一々他のソフトを立ち上げなくていいので楽です。
ただ、Unityの外に持ち出せないので、Unity以外でもアニメーションを使うとなると、他のアニメーションソフトを使ったほうがいいのかもしれません。
ちなみに、「一枚の絵をプログラムで動かすような感じの動画」というのは、おそらくボーンタイプのアニメーションのことを言っておられると思います。
ここでは、AnimateCC(Flash Animation Toolset)以外は、全てそれに該当すると思います。
(※ちなみに、AnimateCCでもボーンアニメーションは作成できます。ただ、それをFlash Animation Toolsetを使ってUnityに持っていくと、上で書いたようにかなり不自由になります。)
金額面においては、Unityのアニメーション機能は無料です。
Spine、Live2D、Adobeはトライアルバージョンがあるので、それで使用感を確かめる感じでしょうか。
Flash Animation Toolsetは無料です。
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