KMP法のループの繰り返し回数について質問があります。
教科書やwikipediaなどで勉強しておりますと、KMP法のループの繰り返しは、テキストSの長さを|S|とすると
最悪でも繰り返しの回数は
2*|S|となるとあります。
なぜこうなるのかが、理解できないのですが、どなたかわかりやすくご教授いただけないでしょうか?
追記
-Wikipediaから引用-
テーブル T が事前に用意されているとした場合、クヌース-モリス-プラット法の検索部分の計算量は O(k)(ここで k は S の長さ)となる。関数呼び出しに関わる固定オーバヘッド部分を除くと、全ての計算は while ループ内で行われるため、このループの繰り返し回数の上限が計算量となる。ここで T の性質が重要となる。S[m] から開始された照合が S[m + i] と W[i] の不一致で失敗したとき、次の照合は S[m + (i - T[i])] から開始される。次の照合は m 以降のインデックスから開始される必要があるため、T[i] < i が成り立つ。
このことから、ループが最大 2k 回繰り返されることがわかる。繰り返しのたびにループ内の2つの分岐のいずれかが実行される。最初の分岐では、常に i をインクリメントして m をそのままとし、インデックス m + i を変化させることで S 内の文字を調べていく。次の分岐では i - T[i] を m に加算する。前述の通り、この加算する値は常に正の値である。従って、照合開始位置 m は増加していく。ループの終了は m + i = k となったときである。---① 従ってループ内の各分岐は k 回実行され、各分岐は m + i か m のいずれかを増加させる。ここで、m ≤ m + i である。m = k となったとき、m + i ≥ k なので、それ以前のいずれかの時点で m + i = k となっているはずである。従っていずれにしても処理は終了する。
以上からループの繰り返し回数は最大でも 2k 回であり、この検索アルゴリズムの計算量は O(k) となる。
---①の所でループの終了条件はi+m=kとなっていて、一回ループを回すごとにi またはi+mが増えるのであれば、繰り返す回数はkだと思ってしまいます。
m=0の時、iが0〜kまで増えたらループの終了条件に達して繰り返す回数はkだと思います、どういうふうに考えれば2kになるのでしょうか?