数値誤差についての初歩的な質問(python初心者)

Question

前提

pythonの数値誤差についてわからないことが2点あります。初歩的な質問ですみません。

発生している問題・エラーメッセージ

1. f(2)の結果が1でなく1.0の理由
2. f(10)=1.0000000009となるが、f(10)とf(2)で誤差が生じる理由

の以上２点がわかりません。

該当のソースコード

def f(a)
return ((1/a+1)-1)*a

Comments

[dameo]

インデントがありませんよ
def文には最後コロンが必要です
pythonの数値型とその演算精度については以下
https://docs.python.org/ja/3/library/stdtypes.html#numeric-types-int-float-complex
丸め誤差についてはps_aux_grepさんが惜しいのですが、doubleなので普通は64bitです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%80%8D%E7%B2%BE%E5%BA%A6%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0
この実数表現は2進数で小数点以下を表すため、10進数の1/10だと2進数にしたときに割り切れない=循環小数になるため、表現誤差が生じます。詳細はググってください。

Answer 1

他の回答にあるようにコンピュータ内部では有限の桁数で計算をしています。
そのため端数が思った通りに出力されないことがあります。
次の単純な計算例でも計算誤差の例を見ることができます。
*, / だけなら、それなりに計算出来ているように見えますが、+, - を追加するだけで誤差が目に見えてきます。

Comments

[shun098]

こんな簡単な操作で誤差が生じるのですね。
ご回答ありがとうございます！

[katoy]

象然する数を変えるだけで、誤差の量も変わります。
小数を含む計算をなん度も繰り返すような場合、誤差が集積していって、最終的にとんでもないことになることもあります。
```
>>> (11 + 1 /3 - 11) * 3
1.0000000000000018
>>> (101 + 1 /3 - 101) * 3
0.9999999999999858
>>> (1001 + 1 /3 - 1001) * 3
1.0000000000001137
>>>
```
２次方程式の解の公式をそのままプログラムにすると誤差が出て、使い物になりません。
色々工夫する必要があります。

Answer 2

浮動小数点数、ってのは２進数で数値を表現しています
それに対し、私たちは、１０進数で数値表現します。
この、１０進数から２進数、２進数から１０進数の変換が完全にできないためにそこで誤差が出ます。

Comments

[shun098]

なるほど、見えないところで2進数での計算を経由しているんですね...

Answer 3

f(2)の結果が1でなく1.0の理由

1/aの時点で浮動小数点数になります．C等の他の言語と違って，除算/と商//の演算に差があります．

f(10)=1.0000000009となるが、f(10)とf(2)で誤差が生じる理由

浮動小数点数はIEEE-754の64bitで表現すれば，1/10すなわち0.1が循環小数0|01111111011|1001100110011001100110011001100110011001100110011010となって切り捨てられる部分があるため，1と0.1の演算やそれを10倍する処理で差が生まれます．

詳しくは「丸め誤差」で調べてください．

Comments

[shun098]

回答ありがとうございます！
それぞれの質問に答えていただいた上、丸め誤差の存在についても教えていただきありがとうございます！