ブール演算についての質問（先日と似ています)

Question

先日も同じような質問をさせていただきました。

今回は、Xorについてです。

XorをNot, And, Orで、また、Nandのみで表現することはできるのですが、ある参考書では、
XorをAnd, Nand, Orで表現しています。

例えば、-AB + A-B が -(AB)*(A+B)と表現されています。

右辺から左辺へは理解できるのですが、左辺から右辺への変換が理解できません。

-AB + A-Bを自分なりに証明した結果です。

(Not A And B) Or (A And Not B)

= Not Not (Not A And B) Or Not Not (A And Not B)

= Not (Not A And B) Nand Not (A And Not B)

= (Not A Nand B) Nand (A Nand Not B)

この式が、なぜ

(A Nand B) And (A Or B)

になるのか教えていただけないでしょうか？

ベン図で解いてみると理解できるのですが、式としての証明が理解できません。

Answer 1

bool演算ですね
AND を *と表します
OR を + と表します
NOT を !と表します

(!ab) + (a!b) //命題
!!((!ab) + (a!b)) // 否定の否定は等しい
! (!(!ab)!(a*!b)) // 否定のひとつをド・モルガンの定理で展開
!((a+!b )(!a+b)) // さらにド・モルガンで展開
! ( a * !a + ab + !a*!b + !bb ) //積和系になった！
! ( 0 + ab + !a*!b + 0 ) // a*!aは常にfalse(0)になる
! ( ab + !(a+b) ) // 積和系で0の項は無視 !a!bを2重否定してド・モルガンの定理
!(ab) * (a+b) // 最後の否定をド・モルガンで展開
!(ab) は NAND なので
命題 = (A NAND B) AND ( A OR B )
//証明終了