Java Comparator.naturalOrder()の自然な順序とは？

Question

###ストリームAPIについて

ソースコード1について

maxメソッドと引数についてですが、Comparator.naturalOrder()は自然な順序で
比較するとリファレンスにありました。
該当のソースコード1で試したところ「いあ」という文字列が返りましたが、この自然な順序というのはどいうことでしょう？
なぜローマ字より先に全角の日本語がかえるのでしょうか？
辞書順ソート？

ソースコード２について

どうやらmaxメソッドの引数に(d1,d2) -> d1.length() - d2.length()とすると作成したストリームから最大長の文字列を返すらしいのですが、なぜ引数を二つとり、長さを比較すると最大の長さの文字列が返るのでしょうか？

よろしくお願いします。
###該当のソースコード1

List<String> data = Arrays.asList("aaa","bb","cccc","d","g","いあ","あい");
	
Optional<String> result1 = data.stream().max(Comparator.naturalOrder());
result1.ifPresent(System.out::println);

###該当のソースコード２

Optional<String> result2 =data.stream().max((d1,d2) -> d1.length() - d2.length());
result2.ifPresent(System.out::println);

###返り値

ソース1 いあ
ソース2  cccc

Answer 1

###オブジェクトの順序付け
あるクラスのインスタンス同士に順序を付ける方法は2通りあります。
0. そのクラスにComparableインタフェースを実装する
0. Comparatorインタフェースのオブジェクトを作成する

1.の方法で順序を付けることを自然順序付けと呼びます。
###目的
リストなど、要素の集合をソートするというのはよくある要求です。「ソート アルゴリズム」などで検索すれば様々な記事がヒットするはずです。そこで解説しているのはもっぱら数値のソートですが、どのアルゴリズムを見ても、基本的にやっていることは「2つの要素の大小を比較して、結果により入れ替える」ことで、異なるのは比較する要素の取り出し方や入れ替えのルール程度です。
そこで、一般のオブジェクト2つに対して、その2つの大小を比較することができれば、数値のソートと同じようにソートができることになります。この大小を決定するのがComparableやComparatorなのです。
###比較のメソッド
Comparableインタフェースは引数を1つとるcompareToメソッドを持ち、次のように使います。

// Stringは辞書順に並ぶよう順序付けするようComparable#compareToメソッドを実装している
String a = "a";
String b = "b";
// 一方のインスタンスのメソッドの引数に、そのインスタンスと比較するインスタンスを渡す
int i = a.compareTo(b);

Comparatorインタフェースは引数を2つとるcompareメソッドを持ち、次のように使います。

// 文字列の長さの大小で比較するComparator(後ほど解説)
Comparator<String> comparator = (x, y) -> x.length() - y.length();
String a = "a";
String b = "bbb";
// Comparatorオブジェクトのメソッドの引数に比較する2つのインスタンスを渡す
int i = comparator.compare(a, b);

これらのメソッドはint型の値を返します。これらのメソッドは、どちらがより大きいかを、返り値の正負で判断できるように設計する必要があります。
今便宜上、xというインスタンスがyより小さい、つまり昇順に並べた際xがyより先に並ぶということをx < yと表現することにすると、

• Comparableの場合

x < y と x.compareTo(y) < 0 が同値

• Comparatorの場合

Comparatorオブジェクトをcとしたとき、
x < y と c.compare(x, y) < 0 が同値

になるようにします。
###本題 - 回答
まずいずれのソースコードにも共通することですが、
Stream#maxメソッドは引数にComparatorオブジェクトを渡し、そのComparatorに従って順序付けして、その最大の要素、つまり昇順に並べて最後に来る要素を返すものです。

ソースコード1において、自然順序付けはすでに書いた通り、そのクラスのComparableインタフェースで定義された順序付けをすることを意味します。したがって、次の2つのComparatorは同じ順序付けをします。

Comparator<String> c1 = Comparator.naturalOrder();
Comparator<String> c2 = (s1, s2) -> s1.compareTo(s2);

ソースコード2においては、Comparator#compareメソッドの実装をラムダ式で行っています。
これで文字列の短い順に並ぶ理由についてですが、少し数学の話をします。
任意の実数a,bに対して、a < b と a - b < 0 は同値です。
今このmaxメソッドに渡しているComparatorは、2つの文字列のlength()、つまり長さの差を取ることで、長さの大小を比較していることになります。この符号が正か負かで、どちらが長いかが決定できます。
そして負であるとき、つまりd1のほうが短いとき、メソッドの設計の話からd1が昇順で先に並ぶことになります。
maxメソッド内ではこれを自動でやってくれるのでd1とかd2に当たるものが何か外部からは見えませんが、「短いものから先に並ぶ」という要件にはなっています。
※今回の場合は「文字列の長さ」のため、両方0以上の値であるから引き算で比較できたが、一般のint値同士を引き算で比較するとオーバーフローする恐れがあるので注意が必要
また次のように書くことも可能

Optional<String> result2 = data.stream().max(Comparator.comparingInt(String::length));

こうすることで、「文字列の長さで比較」ということを明示的にできる

Comments

[BitCoin]

回答ありがとうございます！
思ったより深いところまで考えなければならないのですね。頑張って理解します！

Answer 2

ソースコードの1については、

なぜローマ字より先に全角の日本語がかえるのでしょうか？

.maxを取っていますので、返ってくる結果は「辞書順ソート」での最後のものになります。

ソースコード2については、「比較関数が正ならd1を後に、負ならd2を後に」というようにソートしていきますので、長さの順に並びます（これは「習うより慣れろ」の側面も強いです）。

Comments

[BitCoin]

回答ありがとうございます。
少しわからなかったことがあるのですが
ソース2についてですが、「比較関数が正ならd1を後に、負ならd2を後に」という意味ですが

(d1,d2) -> d1.length() - d2.length()をmax()にわたすと
はd1とd2にdata.stream()のなかの"aaa","bb","cccc","d","g","いあ","あい"を渡しすべての長さを比較し、その差が一番小さかったd1を返すという認識であっているでしょうか？

いずれにせよmax()の中でどのような操作が行われているのかわからず・・・・
こういう場合は理解することはお手上げなのでしょうか？