Unity-Update上の判定で一度だけメソッドを呼び出す

イベントを利用するのはどうでしょうか？
Update内の処理はコストが高くなりがちなので僕はあまり使いません。
イベントを利用することでUpdate内で処理する必要がなくなります。

レベルを管理するマネージャー

とりあえず静的クラスとしました。コードは未検証です。
[このクラスの注意点]
・ addScore内で全てのレベルをコンプリートした時の処理を入れていません。
・ レベルがあがった時にscoreCounterの値を0にしています。本来であれば次のレベルに持ち越すスコアがあるはずです。
・ ScriptableObject化の話を書いていますが、導入した場合静的クラスから参照できないかもしれません。

public static class levelManager
{
    //レベルアップのイベント
    public static event System.Action<int> OnLevelUp = delegate {};
    //スコア追加のイベント
    public static event System.Action<int> OnAddScore = delegate {};

    /// <summary>
    /// レベルアップまでに必要なカウント
    /// わかりやすいようにとりあえずここに書いてますが
    /// 本来ならこういうデータは管理しやすいように切り出した方がわかりやすいです。
    /// 僕はよくエクセルで管理してScriptableObject化してそれを参照するようにします。
    /// </summary>
    static readonly int[] LEVEL_COUNTS = new int[]
    {
        //LEVEL1
        10,
        //LEVEL2
        11,
        //LEVEL3
        12
    };

    //こうしとけば外からでも levelManager.nowLevel でアクセスできるのでとりあえずはやしておく
    public static int nowLevel { get{ return nowIdx + 1; } }

    static int nowIdx = 0;
    static int scoreCounter = 0;

    /// <summary>
    /// スコアのチェック用 levelManager.addScore(数値); でアクセス
    /// </summary>
    public static bool addScore(int addCount)
    {
        scoreCounter += addCount;
        //スコアがaddされた
        if (OnAddScore != null) OnAddScore(scoreCounter);
        //レベルアップ判定
        if(scoreCounter > LEVEL_COUNTS[nowIdx])
        {
            nowIdx++;
            scoreCounter = 0;
            //レベルがあがった
            if(OnLevelUp != null) OnLevelUp(nowLevel);

            return true;
        }

        return false;
    }
}

スコアを表示する箇所

public class showScore : MonoBehaviour
{
    Text levelTxt;
    Text scoreTxt;

    /// <summary>
    /// オブジェクトが表示された時にイベントをバインド
    /// </summary>
    void OnEnable()
    {
        levelManager.OnLevelUp += levelUpEvent;
        levelManager.OnAddScore += addScoreEvent;
    }

    /// <summary>
    /// オブジェクトが非表示になった時にイベントをアンバインド
    /// </summary>
    void OnDisable()
    {
        levelManager.OnLevelUp -= levelUpEvent;
        levelManager.OnAddScore -= addScoreEvent;
    }

    //レベルアップしたらテキストに反映
    void levelUpEvent(int lv)
    {
        levelTxt.text = lv.ToString();
    }

    //スコアが上がったらテキストに反映
    void addScoreEvent(int score)
    {
        scoreTxt.text = score.ToString();
    }
}

スコアを追加するキャラクターなど

public class charaCtor : MonoBehaviour
{
    void addScore()
    {       
        //スコアを追加
        var isLevelUp = levelManager.addScore(10);

        Debug.Log(isLevelUp ? "レベルアップ" : "レベルアップしませんでした");
    }
}

今の実装 アップデート内でテキストを変更することについて

Update内でテキストを常に変更するのは意外に高コストです。
前表示したレベルをキャッシュして判定した方がいいです。

    int currentLevel = 0;
    int nowLevel = 1;
    void Update()
    {
        if(currentLevel != nowLevel)
        {
            currentLevel = nowLevel;
            levelTxt.text = currentLevel.ToString();
        }
    }

実際にUpdate内に実装するなら、bool変数を使う形になると思います。

ですが今回の例で言う「スコアが一定値に達する度に」という内容であれば、
「スコアが加算された時」に判定と処理を行えばよいのでUpdate内に実装する必要はありません。

１フレーム毎にスコアが加算されるゲームでない限り「Updateの頻度＞スコアが加算される頻度」だと思いますので、後者で実行した方が負荷としては軽減されると考えられます。