C言語でexp(x)を微分方程式で書く

Question

C言語でexp(x)を微分方程式で書けという問題で行き詰ってます。

オイラー法で書くことはできたのですが、それ以外の修正オイラー法、ルンゲクッタ法の書き方がいまいちわかりません。

以下にオイラー法のコードを書いてるのでそれから修正方法を教えていただけると助かります。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double F(double x) // これは、f(x)の微分値 f'(x)
{
return exp(x);
}

double euler(double x0, double xn, double y0, int n, int modulo)
{
int i;
double x, y, h;

x = x0; y = y0; h = (xn - x0)/n;
for (i = 1; i <= n; i++) {
y += F(x) * h;
x = x0 + i * h;
if(i % modulo == 0)
printf("%-10f %-20.15f\n", x, y);
}
return y;
}

int main(void)
{
double x0=0.0; // x の初期値
double xn=1.0; // x の最終値
double y0=1.0; // y の初期値
int n= 655360; // 10分割
int modulo=65536; // 区間番号がmodulo つまり 65536=2^16 の倍数のときに途中経過を印字

printf(" %-12s %-20s\n", " x", " y = f(x) "); // %-12s は文字列を12桁の幅の中に左寄せで印字する指定
euler(x0, xn, y0, n, modulo);

return 0;
}

Answer 1

質問者さんのオイラー法を用いた解き方も間違っている可能性があります。

やりたいことは、恐らく、exp(0.0)=1.0であることと、y'=exp(x)=yであることから、
exp(1.0)の近似値を計算することだと思います。

オイラー法では、次のようになります。但し以下のものはWindowsの電卓の計算結果です。
exp(0.0) = 1.0
exp(0.1)の近似値 = exp(0.0) + 0.1 * exp(0.0) = 1.1
exp(0.2)の近似値 = exp(0.1)の近似値 + 0.1 * exp(0.1)の近似値 = 1.21
exp(0.3)の近似値 = 1.331
exp(0.4)の近似値 = 1.4641
exp(0.5)の近似値 = 1.61051
exp(0.6)の近似値 = 1.7711561
exp(0.7)の近似値 = 1.9487171
exp(0.8)の近似値 = 2.14358881
exp(0.9)の近似値 = 2.357947691
exp(1.0)の近似値 = 2.5937424601

exp(1.0)の実際の値は約2.718なので、誤差は0.124となります。
hを小さくするか、より高次の近似アルゴリズム（修正オイラー法、ルンゲクッタ法）を
用いることで、この誤差を小さくすることができるはずです。

参考までに、確認用に作った私のjavascript(Node.js)のプログラムを載せておきます。

const COUNT = 1000;

e = 1.0;
h = 1.0 / COUNT;
for (i = 1; i <= COUNT; i++) {
  e += h * e;
}

console.log(e);