とりあえずシングルクォーテーションで変数を囲んでも
展開されないのでそれなりの処理が必要

'<option value="' . $i . '"$selected>'
↓↓↓
'<option value="' . $i .'"'. $selected.'>'

もともとダブルクォーテーションでやるように回答したと
思いますが・・・

 追記

まず、テーブルの上のレベルで表示をdisplay:noneにしてしまうと、
表示させようがありません。意味のないクラスなのでやめてください。
そもそも考え方が間違っています、出力して表示しないのではなくて
出力しないことが妥当でしょう

$sの出力条件を追加(とりあえず$_POST["year"]だけチェックしていますが
厳密にやりたいならmonthやそれぞれの有効値のチェックまで必要になります)

$s ="";
if(isset($_POST["year"])){
$s.= '<table border="1"><tr>';
for($i = mktime(0 ,0 , 0, $month, 1,$year);$i<mktime(0, 0, 0, $month+1 ,1 ,$year);$i+=60*60*24) {//タイムスタンプmktime,加算代入
    $s .= "<td>".date('Y/m/d',$i)."</td><td>".$weekday[date('w',$i)]."</td></tr>";
}
$s .= "</table>";

<?php
$array_week = array('日', '月', '火', '水', '木', '金', '土');
$year = date('Y');
$month = date('n');
$start = $year - 10;
$end = $year + 10;
//年のプルダウン
for ($i = $start; $i <= $end; $i++) {
$option_year .= '<option value="' . $i . '">' . $i . '</option>' . "\n";
}
//月のプルダウン
for ($i = 1; $i <= 12; $i++) {
$option_month .= '<option value="' . $i . '">' . $i . '</option>' . "\n";
}
?>
<form action="" method="post">
<select name="year">
<?php echo $option_year; ?>
</select>年
<select name="month">
<?php echo $option_month; ?>
</select>月
<input type="submit" name="btn" value="送信">
</form>
<?php
if (isset($_POST['btn'])) {
$year = $_POST['year'];
$month = $_POST['month'];
//プルダウンで選択された年・月の日数のタイムスタンプを取得
$timestamp = mktime(0, 0, 0, $month, 1, $year);
//日数を取得(繰り返す日数)
$days = date('t', $timestamp);
echo '<table border="1">' . "\n";
for ($i = 1; $i <= $days; $i++) {
//選択年の月の日数(月末)のタイムスタンプ
$timestamp = mktime(0, 0, 0, $month, $i, $year);
//タイムスタンプから日付を取得
$date = date('m/d', $timestamp);
//タイムスタンプから曜日の取得
$week = date('w', $timestamp);
echo '<tr>' . "\n"
. '<td>' . $date . '</td>' . "\n" 
. '<td>' . $array_week[$week] . '</td>' . "\n"
. '</tr>' . "\n";
}
echo '</table>' . "\n";
}
?>

送信ボタンに関数をあてがいましたが上手くいきませんでした

書くなら onClick="show()" ですが、関数が実行されたとしてもすぐページが変わってしまい（＝Formを送信する動作）意味は有りません。

PHPからしか取得できない情報なのであれば、JavaScriptを介さずにPHPだけで機能を作成されたほうが良いですし、そうで無いのであればプルダウンのchangeイベントを拾ってJavaScriptでテーブルを組むのが良いでしょう。

【セレクトボックスの日付を切り替え | JavaScript逆引き | Webサイト制作支援 | ShanaBrian Website】
http://shanabrian.com/web/javascript/change-day.php

【簡単にHTMLの年月日のプルダウンを作る方法 - ITS】
https://its-office.jp/blog/js/2016/03/08/ymd-html.html