自由落下運動のプログラム

Question

###前提・実現したいこと
0.1秒ごとの自由落下でボールを落とすプログラムを作りました。

このプログラムをオイラー法また、ルンゲクッタ法ではどのように書かれるのでしょうか。

###該当のソースコード

#include <stdio.h>

int main(void)
{
int i;
const double g = 9.8; /* 重力加速度 */
double t; /* 時刻 */
double x; /* 落下距離 */

for (i = 0; i < 50; i++) {
t = i / 10.0; /* 1/10刻み */
x = g * t * t / 2.0;
printf("t = %.1f x = %f\n", t, x);
}

return (0);
}

Comments

[MasahikoHirata]

あえてルンゲクッタ法とオイラーに当てはめるとすれば、ルンゲクッタ法の1段１次の公式に当てはめれば前進オイラー法と等価になるので。これならば公式は'y(n+1) = y(n)+hf(t(n),y(n))'で直感的に分かるでしょう。

Answer 1

微分の定義は
f'(t) = lim[dt→0] (f(t+dt) - f(t)) / dt
だが、このlimを外すと、
f'(t) = (f(t+dt) - f(t)) / dt
dt * f'(t) = f(t+dt) - f(t)
f(t+dt) = f(t) + dt * f'(t)
前進オイラー法の公式を得る。

落下速度をvとすると、微分方程式は
dv/dt = g
前進オイラー法を使って書きなおすと、
v ← v + dt*g

dx/dt = v
であるから、同じように、前進オイラー法を使って書きなおすと、
x ← x + dt*v

よって、前進オイラー法を使った逐次計算で必要な式は
v ← v + dtg, x ← x + dtv
微小時間dt = 0.1, 初期条件t=0のときにv = 0, x = 0として、得られるC言語コードは

#include <stdio.h>

int main(void)
{
	int i;
	const double g = 9.8; /* 重力加速度 */
	double t; /* 時刻 */
	const double dt = 0.1; /* 微小時間 */
	double x = 0; /* 落下距離に初期値代入 */
	double v = 0; /* 落下速度に初期値代入 */

	for (i = 0; i < 50; i++) {
		t += dt;
		v += dt * g;
		x += dt * v;
		printf("t = %.1f v = %f x = %f\n", t, v, x);
	}

	return (0);
}

数値を読みやすくするために、printf()の第1引数は調節して下さい。

Comments

[tow]

ありがとうございます。