methodがうまく作れない

うまく動きませんじゃわかりません。
想定している動作と、現状の動作で異なることを具体的に書かないと質問になりません。

リファレンスを読んでいますか？
Intent#putStringArrayListExtraやIntent#putIntegerArrayListExtraを使ってください。
また、キーが重複するとセットした値が上書きされます。

おそらくですが、この問題の根幹は無限ループではないでしょうか？どういう現象が起きていて困っているのかそれを一切書いてくれないので推測ですが。

ArrayList<String> arrStr = arrOption1 ;

この代入により、変数arrStrと変数arrOption1は同じリストを参照します。これがnullでない場合、

for (int i = 0; i < arrOption1.size(); i++) {
    arrStr.add(arrOption1.get(i));
}

これが実行されます(閉じ括弧が足りなかったので追加)。例えばこれらのリストが["a", "b", "c"]という内容だとすると、

i = 0
arrOption1 -> ["a", "b", "c"] <- arrStr
arrOption1.get(i)で"a"を取得、arrStrに"a"追加
arrOption1 -> ["a", "b", "c", "a"] <- arrStr

i = 1
arrOption1.get(i)で"b"を取得、arrStrに"b"追加
arrOption1 -> ["a", "b", "c", "a", "b"] <- arrStr

という動作になり、以降同じような動作になります。継続条件であるi < arrOption1.size()において、arrOption1.size()が順次大きくなっていくため、いつまでたってもループから抜けることができません(※)。これが「上手く動作しない」の元凶ではないでしょうか？

(※)厳密には、ArrayList#size()はintの最大値(2^31-1)以上のサイズのリストに対して呼び出されるとintの最大値を返すので、iがそこまで到達すれば抜けることができる。

以前の回答

「なくても動くようにしたい」なら、その引数にnullを渡す方法も考えられますが、その引数なしのメソッドをオーバーロードするという手もあります。
つまり、今あるメソッドはそのままに、

private void changeActivity(Class targetActivity, Integer record_id) {
    changeActivity(targetActivity, record_id, null, null);
}
private void changeActivity(Class targetActivity, Integer record_id, ArrayList<String> arrOption1) {
    changeActivity(targetActivity, record_id, arrOption1, null);
}
private void changeActivity(Class targetActivity, Integer record_id, ArrayList<Integer> arrOption2) {
    changeActivity(targetActivity, record_id, null, arrOption2);
}

というメソッドを加えます。

しかし現状のメソッドには問題があり、リストを回している間、arrStrというキーに結びつくオブジェクトが上書きされ続け、最後に記録したものしか残りません。キーとなる文字列も変化させてputExtraするか、いっそArrayListごとputExtraする必要があります。