ファイルを開かずにヘッダーヘッターの取得

「ファイルを開かずに」という表現が曖昧ですが、EXCELブックとして開かない、ということでしょうか。
COMを使うことで実際にファイルを開かずに処理することはできそうです。

Dim xlApp As Excel.Application
Dim xlBook As Excel.Workbook
Dim xlSheet As Excel.Worksheet

Dim file As String
file = "c:\temp\test1.xlsx"

Set xlApp = CreateObject("Excel.Application")

xlApp.Workbooks.Open Filename:=file, UpdateLinks:=0
'xlApp.Visible = True       ' これを有効にするとEXCELファイルが開かれます
Set xlBook = xlApp.Workbooks(Dir(file))
Set xlSheet = xlBook.Worksheets("Sheet1")

Debug.Print xlSheet.PageSetup.LeftHeader
Debug.Print xlSheet.PageSetup.CenterHeader
Debug.Print xlSheet.PageSetup.RightHeader

xlBook.Close saveChanges:=False
xlApp.Quit

Set xlSheet = Nothing
Set xlBook = Nothing
Set xlApp = Nothing

これは1ファイル・1シートを固定で処理してますが、これをフォルダ内のファイル、ブック内のシートを処理するようにすればよろしいかと思います。
また[ツール]-[参照設定]で、"Microsoft Excel XX.X Object Library" を有効にしておいてください。
XX.Xのバージョンはご自分の環境に合わせてください。

例えば VBScript を使うのはどうでしょう。
ドラッグ&ドロップで使うならこんな感じで。

Option Explicit
Dim args,i,book,sheet

Set xls = CreateObject("Excel.Application")
xls.DisplayAlerts = FALSE
xls.Visible = TRUE

Set args = WScript.Arguments
For i=1 To args.count Step 1
  Set book = xls.WorkBooks.Open(args.item(i))
  Set sheet = book.ActiveSheet
  '
  '処理
  '
  Set sheet = Nothing
  Set book = Nothing
Next
Set xls = Nothing

>閉じている特定のファイルの特定のシートのセル値を取得する
この方法として想定されているのはExecuteExcel4Macroではないかと思います。
確かにこれでファイルを開かずにセルの値を取得することは可能ですが、
（私の知る限りでは）閉じたファイルのヘッダ内容までは取得できないと思います。

ご存知かもしれませんが、ExecuteExcel4MacroはExcelの過去の資産、Excel4.0マクロを実行するものです。
Excel4.0マクロではGET.DOCUMENT(54,[ファイル名]シート名)で指定ファイル名のシートからヘッダ内容を取得(フッター内容は55で取得)できますが、これはあくまで開いているブックが対象となります。

>すべて開いて閉じてを繰り返していると手間
>何らかの人為的なミスが起こらないとも限らないので自動化したい
これが手作業で１つずつブックを開く作業は手間だしリスクもあるので自動化したい、という解釈でよければ、
「ファイルを開かずに」という部分は「画面上に表示されなければリスクは低いのでファイルは開いても構わない」ものとして、ttyp03さん提示の方法で実現できそうです。
⇒xlApp.Workbooks.Openの部分でファイルを開き、xlApp.Visible = Trueをしないことで非表示のままエクセル操作しています。

「速度等を考慮してファイルを開かず処理したい」のであれば、なかなか難しいのではないかと思います。