Float型について

Question

VisualStudio c++にてfloat型の変数に330245000代入したところ、330244992.となってしまいました。
これは桁落ちというやつなんでしょうか？
桁落ちって小数点以下で起こるものだと思っていたのですが、
floatは、有効桁数7桁とあったのですが、7桁以上は整数部分でも桁落ちするという意味なのですか？

Answer 1

いきなり2進数だと難しいかもしれないので、まずは10進数で説明します。

「有効数字2桁」と聞いて、どのような数字を思い浮かべるでしょうか。
「1.2」のような数字を思い浮かべるかもしれませんが、
実は「3.4 x 10^-2 = 0.034」も「5.6 x 10^3 = 5600」も「有効数字2桁」です。

つまり、先頭または末尾2桁に数字が入っていて、それ以外の桁がすべて0のものは
すべて「有効数字2桁」となります。

さて、float型は、有効数字が「2進数で24桁」になります。
今回問題となった「330245000」ですが、2進数にすると以下のようになります。

10011101011110010001110001000

先頭から26桁まで数字が入っているので、有効数字が「2進数で24桁」のfloatでは表現できません。
先頭24桁までしか数字が入らないように「1」を削ると、以下のようになります。

10011101011110010001110000000

これを10進数にすると、「330244992」となります。

ちなみに、floatで表現可能な、次に大きい数字は「330245024」となります。
floatだと、このあたりの整数はとびとびにしか表現できないのです。

10011101011110010001110100000

Comments

[退会済みユーザー]

詳細にありがとうございます！
なるほど、有効数字というのは、先頭もしくは末尾に数値があった場合のことだったのですね、そのあたりがわかっていませんでした。
非常にわかりやすかったです。ありがとうございます。

Answer 2

C/C++のfloatは、通常はIEEE 754 での単精度浮動小数点数の形式: binary32に書かれている形式です。

仮数部(fraction)が23ビットですが「ケチ表現」なので24ビット文の情報を持っています。
24ビットは2**24=16777216ですので、十進数で有効数字7桁までは表現できますが、16777216を超える8桁の十進数は正しく表現することはできません

Comments

[退会済みユーザー]

ご回答ありがとうございます。すみません、もう少し聞きたいのですが、
floatの値の範囲は、-3.40282e+38〜3.40282e+38ですが、
例えば、3.40282e+38だと、3.40282 × 10の38乗となると思います。
そうすると、最大で表せる整数値は、33桁くらいだと思っていたのですが、
何を考えちがいをしていたのかよくわからず、floatの最大最小の整数値は何なのでしょうか？
一応33桁ほど表示はできるけど、正確性がないということなのでしょうか？

Answer 3

全体で（普通の環境では）4バイトしかないので、無限桁数の整数を扱えるわけが無いです。
整数の場合と、小数部分を含んだ場合違いは、10進→2進変換での誤差が発生するかどうかの違いだけで、
整数であっても有効桁数を越えたものは正確に表現できません。

Answer 4

有効桁数7桁とあったのですが、7桁以上は整数部分でも桁落ちするという意味なのですか？

YES. float/doubleの内部表現は(整数値であっても)一律 1.□□□□ × 2^△△ の形に正規化されます。
□□□□部分は固定長なので有効桁数には限りがあります。

Answer 5

7桁以上は整数部分でも桁落ちするという意味なのですか？

「桁落ち」は別な現象に対する名前ですが、浮動小数点数は整数であっても精度には限界があります。