Flutter タブバーをAppBarではなくページ中央に配置したい

Question

前提・実現したいこと

FlutterでタブバーをAppBarではなくページ中央に配置したいと思っています。
縦スクロール可能なページ内にタブを配置し、そのタブとタブが制御するウィジェットが横スクロールできる画面を実装したいと思っています。

試したこと

下記コードで、AppBarにタブバーを表示できることは確認済みです。

import 'package:flutter/material.dart';

void main() {
  runApp(const TabBarDemo());
}

class TabBarDemo extends StatelessWidget {
  const TabBarDemo({Key? key}) : super(key: key);

  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return MaterialApp(
      home: DefaultTabController(
        length: 3,
        child: Scaffold(
          appBar: AppBar(
            bottom: const TabBar(
              tabs: [
                Tab(icon: Icon(Icons.directions_car)),
                Tab(icon: Icon(Icons.directions_transit)),
                Tab(icon: Icon(Icons.directions_bike)),
              ],
            ),
            title: const Text('Tabs Demo'),
          ),
          body: const TabBarView(
            children: [
              Icon(Icons.directions_car),
              Icon(Icons.directions_transit),
              Icon(Icons.directions_bike),
            ],
          ),
        ),
      ),
    );
  }
}

期待することは、このタブバーをAppBarから切り離して画面中央部に表示し、スクロール等で上下に動かせるページウィジェットの中に表示させたいと思っています。

試したところ動作せず

• homeプロパティにColumnウィジェットを設定し、そのメンバにページウィジェット等を含める
• TabbarとTabbarViewをColumnのメンバに設定してhomeプロパティに設定

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

• Flutter: 2.2.3
• Dart: 2.13.4