C#でdictionaryのvalueにkey毎に任意の型は使えますか？

IntelliSenseは効きませんが、dynamicを使用するのはいかがでしょうか。

var dic = new Dictionary<string, dynamic>();
dic.Add("name", new List<string>{ "apple", "orange", "grape" });
dic.Add("price", new List<int>{ 200, 300, 150 });

dic["name"].Add("banana");
dic["price"].Add(400);

使用用途にもよると思いますが、c#においては他に、

• Dictionary<string, object>を使用し、キャストする方法

var dic = new Dictionary<string, object>();
dic.Add("name", new List<string> { "apple", "orange", "grape" });
dic.Add("price", new List<int> { 200, 300, 150 });

((List<string>)dic["name"]).Add("banana");
((List<int>)dic["price"]).Add(400);

• Dictionary<string, int>を使用する方法

var dic = new Dictionary<string, int>();
dic.Add("apple", 200);
dic.Add("orange", 300);
dic.Add("grape", 150);

• nameとpriceをメンバーに持つクラスを定義してList<T>で管理する方法

class Fruit
{
    public string Name { get; set; }
    public int Price { get; set; }
}

var list = new List<Fruit>();
list.Add(new Fruit { Name = "apple", Price = 200 });
list.Add(new Fruit { Name = "orange", Price = 300 });
list.Add(new Fruit { Name = "grape", Price = 150 });

等があると思います。

https://ideone.com/Bk7Yku

こんな感じでいかがでしょうか。

using System;
using System.Collections.Generic;

namespace TeraTail35197
{
    class Program
    {
        class Data
        {
            public List<string> names;
            public List<int> prices;
        }

        static void Main(string[] args)
        {
            var data = new List<Data>()
            {
                new Data()
                {
                    names = new List<string> { "Apple", "Orange", "Grape" },
                    prices = new List<int> { 200, 300, 150 }
                },
                new Data()
                {
                    names = new List<string> { "Carrot", "Tomato", "Cucumber" },
                    prices = new List<int> { 100, 200, 300 }
                },
            };

            foreach (var x in data)
            {
                foreach(var name in x.names)
                {
                    Console.WriteLine($"name: { name }");
                }

                foreach (var price in x.prices)
                {
                    Console.WriteLine($"price: { price }");
                }
            }
        }
    }
}

実行結果

name: Apple
name: Orange
name: Grape
price: 200
price: 300
price: 150
name: Carrot
name: Tomato
name: Cucumber
price: 100
price: 200
price: 300

dictionaryをどのように処理していくかわからないので使えるかわかりませんが匿名型＋配列の暗黙の型指定で以下のような書き方もできます。

var data = new
{
    name = new [] { "Apple", "Orange", "Grape" },
    price = new [] { 200, 300, 150 }
};

以下の記事も参考になるかと思います。
neue cc - C#でローカル変数からDictionaryを生成する