ユーザが自分でユーザ登録をして使うような仕組みは入れたくありません。
今までどうしていたんですか?
匿名認証以外はユーザー情報がサーバー側にないと何ともならないはずです。「ユーザが自分でユーザ登録」は NG という条件であれば、サーバー管理者が登録する他ないと思いますけど。
フォーム認証はかなり古い認証方式だったはずなので、今の時代にも使っていいものかどうかがよくわかりません。
.NET Framework がサポートされているうちは使っても良いと思います。フォーム認証に用いる Membership クラス、MembershipUser クラス、SqlMembershipProvider クラスなども非推奨とかにはなってないですし。
ただし、VS2019 のテンプレートはフォーム認証のプロジェクトを生成してくれませんので、認証なしで作って、フォーム認証を自力で実装することになります。自力で実装と言っても web.config に手を加える、登録・ログインページを実装するぐらいで、VS2010 のテンプレートで作ったフォーム認証のプロジェクトを参考に容易にできると思います。
今までフォーム認証に不都合はなく、特にフォーム認証で使ってきた DB を引き続き使うという場合は、フォーム認証を選んでいいと思います。
最近流行っているログインの認証方式を教えていただけないでしょうか。
「最近流行っている」かどうかは知りませんが、VS2019 のテンプレートで作るプロジェクトの認証では以下のものが選択できます。
「個別のユーザーアカウント」というのは ASP.NET Identity ベースの認証システムで、フォーム認証を置き換えたものです。フォーム認証と同様にユーザー情報を DB に保持して認証クッキーベースでユーザー認証を行います。
フォーム認証が古いからイヤだとか、ASP.NET Identity で提供される新しい機能が必要とかいう場合はこれが選択肢になるのではないでしょうか。
「ASP.NET Identity」の登場背景と実際の使い方
https://codezine.jp/article/detail/7709
「職場または学校アカウント」というのは Microsoft 社の提供するクラウドサービスを利用する場合に使われる Azure Active Directory ベースの認証システムだそうです。すでにそういうサービスの提供を受けているならこれが選択肢の一番に来るかもしれません。自分は使ったことがないので多くは語れませんので、ご自分でググって調べてください。
そもそもASP.NET でサイトを作ろうとしていること自体が古いってことは自覚しています
Web サイトプロジェクトのことを言ってるのでしょうか? であれば、確かに古いのですが、古いからダメってことは決してなくて、Web サイトプロジェクトなりのメリットもあります。(運用中のサーバーのファイルの中から 1 ページのみ差し替えることができるなど)
VS2019 でも Web サイトプロジェクトは作れます。詳しくは以下の記事を見てください。
VS2019 で Web サイトプロジェクト作成
http://surferonwww.info/BlogEngine/post/2020/04/23/web-site-template-in-visual-studio-2019.aspx
ただし、認証は選ぶことができず自動的に ASP.NET Identity ベースの認証システムが実装されますが。