flutterにて多次元配列の変数がアプリを終了させても保存できるようにしたい

前提と実現したいこと

flutterで楽譜入力アプリを作ろうとしており、入力された音階をいれた多次元配列を保存しようとしています。
配列は以下の四次元配列になっています。

Dart
1List<List<List<List<String>>>> Alllist 
2= [[List.generate(4, (i) => List.generate(12,(i)=>null))]];

分かりやすくすると以下のように二つの配列は可変でアプリ内で大きさが変化します。

Java
1String[][][][] Alllist = new String[][][4][12]

試したこと

Shared preferences や path_provider を用いようとしました。Shared preferences では一応String型のリストが保存できるようでしたが可変の配列でキーバリューストアの形で動かすのは難しいと考えあきらめました。path_providerは保存形式がテキストファイルであるためこれも配列を扱うのは難しいと思いました。

配列をそのまま保存する方法が良いと思ったため JSONファイルを用いようとしました。しかし用意したものを読み込むことはできても書き込む方法が見当たりませんでした。

もしも私の知識不足によりおかしなことを言っていたら申し訳ありません。
すでに挙げたもので可能でしたらご指摘いただけると嬉しいです。
よろしくお願いいたします。