laravel inputに入力した値が取得できない

前提・実現したいこと

Laravelで非同期通信を使って検索機能作っています。
ブログ一覧に検索フォームを作り、該当のキーワードがあればそれのみを表示する、ということを画面遷移なしで行いたいです。
通常の一覧画面は１０件ごとに表示させて、検索結果一覧は５件ごとに表示するようcontorollerにコードを記述しています。

発生している問題・エラーメッセージ

検索フォームにキーワードを入力して検索ボタンを押しても検索結果は表示されません。
しかし、controllerの$blogs = $query->paginate(5);だけ反映されており、
一覧画面が５件ごとに表示されます。

controllerでdd($keyword)をするとnullになるので、inputに入力した検索キーワードが取得できていないことが原因と考えています。
inputに入力した値を変数で受け取るいい方法があればご教授願います。
非同期通信の処理を挟まず、ページ遷移ありの処理であれば問題なく検索結果が表示されます。

###試したこと
・JSで検索ワードを受け取りcontrollerに渡す
・methodをpostにして、Input::getで受け取る

該当のソースコード

<list.blade.php>
 <div class="form-group">
    <form id="search" class="form-inline" action="{{url('/search')}}" method="GET">
      <input type="text" name="keyword" value="@if (isset( $keyword )) @endif" id="keyword" placeholder="キーワード入力" >
      <input type="button" id="search-icon" value="検索" onclick="buttonClick()">
    </form>
</div>

↓↓画面遷移なしの場合
<list.blade.php>
 <div class="form-group">
    <form id="search" class="form-inline" action="{{url('/search')}}" method="GET">
      <input type="text" name="keyword" value="@if (isset( $keyword )) @endif" id="keyword" placeholder="キーワード入力" >
      <input type="submit" id="search-icon" value="検索" onclick="buttonClick()">
    </form>
</div>

<web.php>
//　ブログ一覧を表示
Route::get('/', [BlogController::class, 'showList'])->name
('blogs');
//検索機能
Route::get('/search', [BlogController::class, 'getSearch'])->name
('search');

<BlogController.php>
class BlogController extends Controller
{
    /**
     * ブログ一覧を表示する
     * 
     * @return view
     */
    public function showList(Request $request)
    {
        $blogs = Blog::paginate(10);
        return view('blog.list', ['blogs' => $blogs]);

    }

//検索機能
    public function getSearch(Request $request)
    {
        // キーワードを取得
        $keyword = $request->input('keyword');

        //クエリ作成
        $query = Blog::query();

        //キーワードが入力されている場合
        if(!empty($keyword)){
        $query->where('title', 'like', '%'.$keyword.'%')
              ->orWhere('body','like','%'.$keyword.'%');
        }
        $blogs = $query->get();

        return view('blog.list')->with(compact("blogs","keyword"));

        
    }
  

}

<search.js>
function buttonClick() {
    var xhr = new XMLHttpRequest();
    xhr.onreadystatechange = function () {
        if (xhr.readyState === 4 && xhr.status === 200) {
            // サーバーでできたHTMLをそのまま差し替える
            let data = document.getElementById("table");
            data.innerHTML = xhr.responseText;
        }
    }
    xhr.open('GET', '/search', true);
    xhr.send();
}