【ARC110-B】Numpy.all()内で配列のレンジ外の要素をスライスで指定して比較すると予想外のブール値が返ってくる【Python3】

Question

前提・実現したいこと

numpy.all()を使用しているときに予想外のブール値が出力されたので理由を知りたい。

元問題:ARC110B
https://atcoder.jp/contests/arc110/tasks/arc110_b

コード

import numpy as np

T = np.array([1], dtype=np.int64)
bool0 = np.all(T[::3] == 1) and np.all(T[1::3] == 1) and np.all(T[2::3] == 0)
=>True

このコードは元々Tという0か1のみを要素にもつNumpy配列からindex(mod3)によって場合分けするコードなのですが、添付したコードのようにTの要素が1つの場合、T[1::3]やT[2::3]はNoneになるはずです。しかし、これを実行するとbool0はTrueになります。どうしてなのかわからなかったのですが、どなたかご教授願えると幸いです。よろしくお願いいたします。
コード自体は意図された挙動になっているので、間違っているわけではないです。

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

Pycharm community 2020.2.3
Python 3.8
Win10 Home

Answer 1

T[1::3] == 1 が array([], dtype=bool)となることは、やってみればすぐにわかりますね。
np.all(np.array([], dtype=bool)) が True になるのは、仕様といえば仕様なのですが、こういう仕様にしたのにはそれなりの理由があります。

一般に 要素数がn個のbool値のndarray である An と、要素数がm個のbool値のndarray である Am があるとき、それを繋いだ 要素数が(n+m)個のbool値のndarray である Anm を考えます。
このとき以下の関係は常に成り立って欲しいように思えます。

　(np.all(An) and np.all(Am)) == np.all(Anm)

n=0のときにこの関係が成り立つということは

　(np.all(A0) and np.all(Am)) == np.all(A0m)

が成り立つということです。
A0は要素数が0個のbool値のndarrayなので、np.array([], dtype=bool)です。
A0mは考えてみるとAmそのものです。
代入すると

　(np.all(np.array([], dtype=bool)) and np.all(Am)) == np.all(Am)

となります。
np.all(Am)はTrueになることもFalseになることもあるので、この関係が常に成り立つためにはnp.all(np.array([], dtype=bool))はTrueでなければならないのです。

Comments

[blackmax8888]

なるほど、納得いたしました！ずっとnp.allの定義を見て考えていたのですが、np.all(np.array([], dtype=bool)) が True になる理由がわからず足踏みしていました。ご丁寧に解説いただき感謝いたします。

Answer 2

import numpy as np

T = np.array([1], dtype=np.int64)

T[::3]はarray([1], dtype=int64)でした。T[::3] == 1はarray([ True])となり、np.all(T[::3] == 1)はTrueとなります。
T[1::3]はarray([], dtype=int64)でした。T[1::3] == 1はarray([], dtype=bool)となり、np.all(T[1::3] == 1)はTrueとなります。
T[2::3]はarray([], dtype=int64)でした。T[2::3] == 0もarray([], dtype=bool)となり、all(T[2::3] == 0)はTrueとなります。

よってTrue and True and Trueとなり、結果はTrueとなります。