sqrtを使わずに平方根を求める

Question

前提・実現したいこと

√２をsqrtを用いずに求めるサンプルプログラムがあるのですが，これを基に任意の値を入力したときにその平方根を表示するプログラムを作りたいです．
詳しくは以下に記載します．

■■な機能を実装中に以下のエラーメッセージが発生しました。

発生している問題・エラーメッセージ

とりあえずx=2のところをx=input()として入力するときに2を入力したら以下のようなエラーが出ました．
Traceback (most recent call last):
  File "main.py",line 4, in <module>
      print('%20.17f'%x);
TypeError: must be real number, not str

またサンプルプログラムでも使われている
print('%20.17f'%x);
の
'%20.17f'%
がどういう意味を持っているのかも分かりません．

該当のソースコード

Python
//以下サンプルプログラム　(main.py)

import math;
x=2.0;
n=10;
print('%20.17f'%x);
for i in range(1,n):
x=x-(xx-2)/(2.0x);
print('%20.17f'%x);
print('%20.17f'%math.sqrt(2));

試したこと

６行目の
x=x-(xx-2)/(2.0x);
を
x=x-(xx-x)/(2.0x);
としたり8行目の
print('%20.17f'%math.sqrt(2));
を
print('%20.17f'%math.sqrt(x));
としてみましたがエラーメッセージのところでも言っているように
'%20.17f'%
の意味を把握できていないせいか何をどうすればいいのか見当もつきません．

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

プログラミング自体あまり得意ではなく，またPythonを使って間もないのでズレた質問なのかもしれませんがよろしくお願いします．

Answer 1

平方根の求め方の一つに、ニュートン法と呼ばれるものがあります。これは「2」の場合であれば、「x * x = 2」という式を「x * x - 2 = 0」と変形してから解を「近似的」に求める方法です。

この式が描く曲線から「ある値」を決めて「切片」を求めると、理論的に最初に決めた値より「真の値」に近づくので、そこから再び「切片」を求めることを繰り返します。サンプルは「range(1, 10)」としていますが、このくらいがほどよいのでしょう。

任意の値で平方根を求めるのであれば、式の分子の「2」だけをその値にすればできるかと。

import math;

v = x = int(input())
n = 10
print('%5.2f' %x)

for i in range(1, n):
    x = x - (x * x - v) / (2.0 * x)

print('%20.17f' %x)
print('%20.17f' %math.sqrt(v))

※print文の「%20.17f」とは全体を20桁、小数点が17桁で表示するという意味です。数値は多少変更しても問題はないでしょう。

Comments

[hkey0495oy]

ありがとうございます！
ニュートン法がどういうものか曖昧でしたが簡単にわかりやすく説明していただき理解できました．
また「%20.17f」の意味についても述べていただき大変助かりました．
貴重な時間を私のために使っていただきありがとうございました！

Answer 2

input()のままだと文字列として扱われるので、下記のようにすれば、エラーは解消されると思います。

x = int(input())

int()で文字列型を整数型に変換しています。

Comments

[takutakuya]

エラーとは関係ないですが、行末のセミコロンは不要です。

[hkey0495oy]

ありがとうございます！
なるほど...int()を付ければよかったんですね．
int()やinput()の中には値しか入らないと思っていたのでint(input())という形にすることは思いつきませんでした．
またセミコロンの有無についてもご指摘ありがとうございます．
貴重な時間を私のために使っていただきありがとうございます！