積分区間が特殊な積分が解けません

Question

わからないこと

以下の積分の解き方を知りたいです。
下2つの方程式を解きたいのですが、u_tとN_tを求めることができません。

最終的にはプログラムで計算するようにしたいのですが、答えがないと検証ができません。
なので、まずは以下の2つの方程式の解き方が知りたいという状況です。

また、もしご存知であればこのような形の方程式を解いていくプログラムの実装方法を教えて頂きたく思います。

解の検証プログラム

ちなみにpythonで書いた解の検証用プログラムは以下です。
検証用にお使いください。
pythonのversionは3.7.3で実行しています。

import numpy as np
import math
from scipy import integrate

beta = 0.3
chi = 1.0
productivity = 100.0
interest_rate = 0.05
price_mu = 0.01
utility_mu = 0.03
utility_sigma = 0.3

# ①ここに求まったu_tの解をいれる
u_t = -5.0

theta: float = utility_sigma / math.sqrt(2 * utility_mu)
y = lambda u: math.sqrt(1 / (2 * math.pi * theta ** 2)) * math.e ** (- u ** 2 / (2 * theta ** 2))
iy, err = integrate.quad(y, -np.inf, u_t)
n_t: float = 1 - iy

u_t: float = - math.log(n_t) + math.log(chi / (productivity * beta)) - ((1 - beta) / beta) * math.log((1 - beta) / (interest_rate - price_mu))

print("n_t:", n_t)
print("u_t:", u_t) # ここが①のu_tと等しければ正解

追記

scipy.optimize.newtonを用いて、解くことができました。

import numpy as np
import math
from scipy import integrate, optimize

beta = 0.3
chi = 1.0
productivity = 100.0
interest_rate = 0.05
price_mu = 0.01
utility_mu = 0.03
utility_sigma = 0.3

theta: float = utility_sigma / math.sqrt(2 * utility_mu)
y = lambda u: math.sqrt(1 / (2 * math.pi * theta ** 2)) * math.e ** (- u ** 2 / (2 * theta ** 2))

def N_t(u_t):
    iy, err = integrate.quad(y, -np.inf, u_t)
    userbase = 1 - iy
    return userbase - math.exp(-(u_t) + math.log(chi / (productivity * beta)) - ((1 - beta) / beta) * math.log((1 - beta) / (interest_rate - price_mu)))

u_t = optimize.newton(N_t, 0)

iy, err = integrate.quad(y, -np.inf, u_t)
n_t: float = 1 - iy

print(u_t)
print(n_t)

Answer 1

数値解を得るのならば、scipyのscipy.optimize.fsolveとかscipy.optimize.newtonを使えばいいのではないでしょうか。

Comments

[melonattacker]

'''scipy.optimize.newton''' を使って解くことができました。
ありがとうございます。

[Penpen7]

よかったです！