pythonで偏微分可能か調べたい

Question

pythonで偏微分可能か調べたいのですが、実行結果がnanとして表示されました。
trigsimp()で簡単化をしておりますが、なかなかうまくいかないです。
公式の通り以外の方法がありますでしょうか

import sympy as sym
import math
sym.init_printing()
Pi = sym.S.Pi # 円周率
E = sym.S.Exp1 # 自然対数の底
I = sym.S.ImaginaryUnit # 虚数単位
oo = sym.oo # 無限大

# 使用する変数の定義(小文字1文字は全てシンボルとする)
(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z) = sym.symbols('a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z')

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
#原点で偏微分可能か調べる。可能ならば偏微分せよ
aa=(x**2+x*y+y**2)*sym.log(x**2+y**2)

#原点でｘに関して偏微分する
f_x=(aa.subs([(x,h),(y,0)]).trigsimp()-aa.subs([(x,0),(y,0)]).trigsimp())/h
print('{0}'.format(f_x))

#参考質問
https://qiita.com/tibigame/items/aebbac176d9bbdaf3d15
#公式。やりたいこと
条件
f(x,y)=(x^2+xy+y^2)log(x^2+y^2) :((x,y)≠(0,0))
= 0 :((x,y)=(0,0))

公式
fx(0,0)= lim h->0 ( f(h,0)-f(0,0))/h
= lim h->0 ( h^2log(h^2))/h
=lim h->0 (-2h) =0
tex形式で書きたかったのですが分かりづらくて申し訳ありません

Answer 1

Sympy を使っているなら、diff() で記号操作で偏微分して、subs() でもう一方の変数を0に置き換えればいいのではないでしょうか。

from IPython.display import display, Latex

f = (x ** 2 + x * y + y ** 2) * sym.log(x ** 2 + y ** 2)

display(f)

dx = sym.diff(f, x).subs({y: 0})
dy = sym.diff(f, y).subs({x: 0})

display(dx)
sym.plot(dx, (x, -5, 5))

display(dy)
sym.plot(dy, (y, -5, 5))

追記

f_x = (f.subs([(x, h), (y, 0)]) - f.subs([(x, 0), (y, 0)])) / h
if f_x == sym.nan:
    print("偏微分できない")

Comments

[himazin392]

解答ありがとうございます。すいません
偏微分の公式で原点で偏微分か可能か調べる、fx(0,0)=(f(h,0)-f(0,0))/hを用いてｈ->0の時の値を求めるのはどのようにすればよろしいのでしょうか

[tiitoi]

x^2 + y^2 = 0 ⇔ x = 0, y = 0 のときは log(x^2 + y^2) が定義されないので、f(0, 0) が存在しません。
なので、(f(h. 0) - f(0, 0))/h を定義した時点で NaN が発生していたら、(0, 0) では偏微分できないと判断できると思います。NaN は x/0 (0除算) や log(0) のように定義されない演算を行った場合の演算結果です。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+%28x%5E2+%2B+xy+%2B+y%5E2%29+log%28x%5E2+%2B+y%5E2%29&lang=ja

[himazin392]

ありがとうございました。勉強不足でした。また、よろしければよろしくお願いします