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Question

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Answer 1

乱暴な実装で良いなら、Form1側でPlayer1,Player2,boardの各変数をプロパティとして定義し、game側のメソッドの引数のForm1を渡すようにすれば参照させることができます。

// Form1側の実装例
public class Form1{
    // publicなプロパティを定義
    public int Player1{ get; set; }
    public int Player2{ get; set; }
    public int[][] borad { get; set; }
//以下略

// gameの各staticメソッドはこのように実装する
        private static int Reverse(Form1 form1, int y, int x, int m_y, int m_x)
        {
            int stone = CountStone(y, x, m_y, m_x);
            for (int i = 1; i <= stone; i++)
            {
                form1.board[y + m_y * i, x + m_x * i] = form1.Player1;

Answer 2

Form1クラスからGameクラスは参照可能なのでしょうか？
あと、Gameクラスのinternalメソッドを実行できればいいのでしょうか？
本当は、もっとクラス設計を考えた方がよいと思うのですが、手っ取り早く動かしたいのであれば、以下の方法で行うことが可能です。
・internalメソッドの引数にboard[,]配列とPlayer1変数,Player2変数を渡す。
・internalメソッドより呼び出されるprivateメソッドにも、必要に応じ、受け取ったboard[,]配列とPlayer1変数,Player2変数を渡す。

ただ、これなら、わざわざGameクラスを作る必要はなく、Form1クラス内で行った方がよっぽど良いように思います。
各メソッドがstaticでしかないということは、いわゆる関数ライブラリでしかないのです。
Gameクラスに何をやらせたいのかよく分かりませんが、「もっとクラス設計を考えた方がよい」と思ったのは、そんなところからです。