python3.xの複数バージョン環境における、pip3のインストール先を変更したい。

前提・実現したいこと

Ubuntu 16.04.6 LTSでwebサーバを構築し、pythonをcgiとして実行したいと思っています。
python3.7のインストールから、cgiの設定まで行い、ページが表示される所までは出来ています。
現在インストールされているpythonが３つありまして、

• python2.7
• python3.5
• python3.7 <- このバージョンで動かしたい

発生している問題・エラーメッセージ

import mysql.connector

でModuleNotFoundErrorが発生します。
単純にライブラリがインストールされていないのが問題なのですが、pip3で正しくインストールが出来ていない状況です。

pip3は以下の場所にインストールされています。

# pip3 -V
pip 20.1.1 from /usr/local/lib/python3.5/dist-packages/pip (python 3.5)

そのまま、mysql-connector-pythonをインストールすると

# pip3 install mysql-connector-python
/usr/local/lib/python3.5/dist-packages/配下にライブラリがインストールされます。

試したこと

pip3をremoveしてみました

# sudo apt-get --purge remove python3-pip

Package 'python3-pip' is not installed, so not removed
0 upgraded, 0 newly installed, 0 to remove and 0 not upgraded.

# which pip3
/usr/local/bin/pip3
# pip3 -V
pip 20.1.1 from /usr/local/lib/python3.5/dist-packages/pip (python 3.5)

と、pip3は残ったままです。

インストール先を指定してみました。

# pip3 install mysql-connector-python -t /usr/local/lib/python3.7/dist-packages

そのディレクトリにライブラリは保存されるのですが、ModuleNotFoundErrorは出たままでした。

あと、最初にpip3をインストールした時のpython3バージョンは不明ですが、途中で以下の作業を行いました。

#vi ~/.bashrc

alias python3='/usr/bin/python3.7'を追記

# python3 --version
Python 3.7.7

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

Ubuntu 16.04.6 LTS
python 3.5 / 3.7

pip3でインストールするパッケージのバージョン指定はチラホラ情報はあるのですが、python3.xのバージョン指定を見つけることが出来ませんでした。

追記
/usr/local/bin 配下はpython3.7しか入っていませんでした。

-rwxr-xr-x  1 root root      224 Jun 11 09:59 pip*
-rwxr-xr-x  1 root root      224 Jun 11 09:59 pip3*
-rwxr-xr-x  1 root root      224 Jun 11 09:59 pip3.5*
-rwxr-xr-x  1 root root      223 May 30 22:08 pip3.7*
-rwxr-xr-x  1 root root       84 May 30 22:08 pydoc3.7*
-rwxr-xr-x  2 root root 13842536 May 30 22:07 python3.7*
-rwxr-xr-x  2 root root 13842536 May 30 22:07 python3.7m*
-rwxr-xr-x  1 root root     2902 May 30 22:08 python3.7m-config*
-rwxr-xr-x  1 root root      441 May 30 22:08 pyvenv-3.7*

/usr/local/lib 配下が以下の通りなので、3つあると思っていました。

drwxrwsr-x  4 root staff     4096 May 30 08:43 python2.7/
drwxrwsr-x  3 root staff     4096 Aug 18  2016 python3.5/
drwxr-xr-x 36 root root      4096 Jun 11 10:12 python3.7/