Adobe Illustratorなど、ベクタデータ扱えるソフトをお持ちなら、
こちらからダウンロードして.aiファイルを開いてください。
YouTube ブランドの使用について
使用する際は、以下も参考になると思います。
【YouTube】マーク(ロゴ)をダウンロードして使う方法
(レギュレーション的に正しいかは別として)
いったんSVGに出力できさえすれば、SVGファイルをエディタで開き、
CSSの<path>などに指定されたCSS「fill: #xxx;」にグレーの色を指定すると、グレーのロゴになると思います。
もしくは黒いロゴをダウンロードすると、zipファイルの中にPNG画像があるので<img>タグで表示し、
CSSでopacity: 0.25;
などを指定するとグレーになると思います。