【初歩的質問】コード実行すると「no implicit conversion of Symbol into Integer (TypeError)」が出る

scores が何型かに注目すれば良いかと思います。

Arrayの場合、score[0]のように数字でアクセスが可能です。エラーの内容からは、シンボル型は不都合だと読み取れるはずです。

show_all_scoreメソッドにはすべてを表示する部分が足りていませんので、
show_one_scoreメソッドを作ってから複数個呼び出しにチャレンジすると良いかと思います。

show_all_scoreにscoresを渡していますが、scoresはArrayです。
:student等のキーを持つHashなのは、scoresの各要素です。

直すべき所は色々ありますが、取りあえず動くようにするには、scoresの各要素について処理するようにshow_all_scoreを書き換えます。

def show_all_score(scores)
  scores.each do |x|
    student = x[:student]
    score = x[:score]
    puts "#{student}の得点は#{score}です"
  end
end

動作するように変更してみました。

def input_score
  {
    name: gets.chomp, # 生徒の名前
    score: gets.to_i  # 生徒の特典
  }
end

def show_all_score(scores)
  scores.each do |student|
    puts "#{student[:name]}:\t#{student[:score]}"
  end
end

scores = []
loop do
  puts '生徒と得点を入力しますか？[0]yes, [1]no'
  input = gets.to_i
  if input == 0
    scores << input_score
  elsif input == 1
    show_all_score(scores)
    exit
  end
end

実行例：

$ ruby sample.rb
生徒と得点を入力しますか？[0]yes, [1]no
0
kato
100
生徒と得点を入力しますか？[0]yes, [1]no
0
abe
10
生徒と得点を入力しますか？[0]yes, [1]no
1
kato:    100
abe:    10