質問者さんは去ってしまったようですが、このままこのスレッドが放置されると Teratail のノイズになってしまうし、レスを書いておけば、ひょっとしたら誰かの参考になるかもしれないということで書いておきます。
まず、質問はサーバー側のコードで何とかするという話ではなく、全てクライアント側で処置する(ボタンクリックでポストバックする前に Label の表示を空白にする)話と理解します。
それから、Button と Label コントロールを使ってそのような処置を実装しても下記 (1), (2) の理由で何も意味がないはずですが、そこは何か対応策を考えると期待してレスします。
(1) Labal は span 要素になりますが、そのテキストを JavaScript で書き換えても、サーバー側では書き換えられたことは分からない。
(2) Button クリックするとポストバックされるので、その応答で再描画され、元に戻ってしまう。
例として、以下のような Button と Label コントロールを使った aspx のコードを書いたとします。Button の OnClientClick プロパティには JavaScript のメソッド ClearText('Label1'); を設定するものとします。(注:ライブラリなどに ClearText というメソッドがあるわけではありません。中身は自分でコードを書いて自作するのです)
<asp:Button ID="Button1" runat="server" Text="Button"
OnClientClick="ClearText('Label1');" />
<asp:Label ID="Label1" runat="server" Text="Label"></asp:Label>
上記を ASP.NET が html ソースに変換すると以下のようになります。Button コントロールが input type="submit" に変換されその onclick 属性に JavaScript のメソッド ClearText('Label1'); がそのまま設定されていること、Label コントロールは span 要素になることに注目してください。(注:シングルクォート ' はエスケープされて ' になってます)
<input type="submit" name="Button1" value="Button"
onclick="ClearText('Label1');"
id="Button1" />
<span id="Label1">Label</span>
なので、JavaScript の自作メソッド ClearText には引数に span 要素の id を渡し、document.getElementById(id) で span 要素を取得し、取得した span 要素の innerText を空白に設定するコードを書けば良いということになります。