ランクガウスでの逆誤差関数はどうやって正規分布に近似しているのでしょうか

Question

こちらのサイトを参考にしています。
https://catindog.hatenablog.com/entry/2018/07/29/172210
上記のURLではランクを標準化して(-0.5,0.5)の範囲に収めたものをerfinv関数に渡しており、返ってきた値が正規分布のような形をしています。

見た感じではランクガウスは偏ったグラフに対して正規分布のような形に近づけるために使用される手法で
連続値の大小をランク付けした後、ランクを標準化して特定の範囲に収め
その後erfinvという逆誤差関数にxを渡しているという感じなのですが
ここの逆誤差関数がどういう計算をして正規分布の形に近づけられているのかわかりません。

まず誤差関数について調べたのですが、誤差関数は、正規分布を前提として考えたときに誤差が一定の範囲に収まる確率を返してくれるものらしいです。
またerfinv関数はその逆関数のようです。
逆関数というのはerfinv(erf(x)) = x という関係が成り立つようです。

ヒントやページのリンクだけでもいただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

Answer 1

多少不正確な部分もありますが、コメントします。

まず、逆誤差関数を理解するためには誤差関数を知る必要があるので、ここから説明します。
誤差関数は、大まかにいうと、ある正規分布について確率変数xにおける確率密度の累積和pを返す関数です。厳密にいうと確率密度の累積和は累積分布関数によって計算されるのですが、両者は線形の関係にあるので誤差関数は累積分布を出力する関数という理解でいいようです。

逆誤差関数は入力と出力を逆にしたものなので、ある正規分布について確率密度の累積和がpとなる確率変数xを返す関数ということになります。

この逆誤差関数ですが、0～1を等分間隔にした値を入力すると、所定の正規分布に従った非等分間隔の値を出力します。この特性を利用することで、一様分布に従う乱数値を正規分布に従う乱数値に変換することができます。

Comments

[rashild]

回答ありがとうございます。また少し調べました。
誤差関数の式の意味(各記号がどのようなことを表しているのか？)までは理解できませんでしたが、標準正規確率分布の式との等式で±√2xσの確率密度の累積和を返すもの？だということは理解できたと思います。しかし逆誤差関数に関してはこちら(https://jp.mathworks.com/help/matlab/ref/erf.html#bupqc9m-3)のページのグラフを見て思ったのですが、確率密度の累積和は確率の和だと理解しているので、正になると思っていたのですが、負の方向にもグラフが広がっていることが確率なのに負？と理解できませんでした。
私はランクガウスを機械学習の勉強で知り、使えるようになるために理解しようとしていたのですが、考えてみると機械学習の人たちは確率がどうのこうのとか関係なく、ただ逆誤差関数のグラフの形状を利用したいだけなんじゃないかと思いました。だいたい-0.5から0.5の範囲は他の範囲に比べてyが緩やかなので一定間隔のxの値を入力値として与えればShigemoriさんの回答でもあった通り、山なりの正規分布っぽい形に近づいてデータとして扱いやすいよね。というためのものなのかなと思いました。
長々とすみませんでしたが、Shigemoriさんの意見はとても参考になりました。
ありがとうございました。

[R.Shigemori]

疑問を持たれた確率密度の累積和が負数を取ることですが、計算結果からマイナス1することで、0を中心になるように補正しているためです。
機械学習などの場合、値を正規化するケースが多いので、こちらを使うほうがいいでしょうね。

機械学習のモデルを作る立場からすると、既に確立されている確率分布の内容は重要ではなく、その分布の特性が数値変換などに有用であることがポイントです。よって、計算式の細かい部分や導出過程は気にせず、関数の挙動や特性を理解するほうが生産的ではないでしょうか