C言語のpow関数について 負になってしまいます。

Question

学校の課題についてなんですが、pow関数について不明な点が出てきました。

課題自体は

1^1 + 2^2 + 3^3 + · · · + 10^10 = 10405071317 であり，その下 5 桁は 71317 である．
同様にして，1^1 + 2^2 + 3^3 + · · · + 500^500 の下 5 桁を計算して表示するプログラムを作成せよ．

というものです。
そこで僕が作成したコードは以下の通りです。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
   double total = 0.0;
   
   for (double i = 1.0; i <= 500.0; i++){
        total += pow(i, i);
    }
    int amari = 0;
    amari = (int)total % 100000;
    printf("%dです", amari);

}

ですが実行結果がなぜか

-83648です

というように負になってしまいます。どうしてでしょうか？

Answer 1

C 言語の変数は、その型で扱える以上の数字を入れるとオーバーフローして正確な値を示さなくなります。多いのが負の値になることで、これは最上位ビットが 1 の場合負とみなすという仕様によるもので、数が大きくなりすぎて最上位ビットが 1 になってしまうからです。

500^500 はとても大きい数なので、これをまともに計算しようとするとどうしてもオーバーフローしてしまいます。ここで下 5 桁という条件が生きてきます。
たとえば 2 × 2 は 4 ですね。12 × 12 の下一桁も 4 ですね。192 × 192 の下一桁も 4 ですね。

Answer 2

n の n乗を計算するときに、1 に n を n回掛けるとオーバーフローする
ので、1回掛けるごとに 100000 で割っった余りを求め、その結果に次の
nを掛けてまた余りを求めることを繰り返すと、下5桁が得られます。

Answer 3

最後にintにするところでint型の範囲を超えていて(int)totalとやっても正しく変換出来ない、というのも一つあるでしょう。

それ以外にも。計算途中も大きな数だからとdoubleにしたのでしょうけれど...
・とても大きな数と小さな数を足すと小さな数が有効桁からはみ出してしまう、という問題があります。有効桁が14桁あっても、1と20の20乗を足したら、1はけし飛んでしまいます。
・500の500乗はdoubleで表現出来るでしょうか?一般的なIEEE754の倍精度で最大値が10の300乗程度です。

お題は下5桁を要求しているのですから、今の、真面目に計算を試みるという方針ではそもそもどうにもならない、ということです。それをどうするかこそが出題者の狙いなのでしょうね。
もう少し頑張ってみましょう。

Answer 4

totalの値が、intの範囲内に収まっていないから、ですね

Answer 5

Overflowしてるのではないですか？