DNSサーバのIPがルータのIPになっている状況で名前解決できるのはなぜ？

Question

状況

DHCPでDNSサーバとして192.168.1.1(ルータのIP)が配布されているよくある環境
ルータの外はISPにつながってるイメージです。

PC→(名前解決リクエスト)→ルータ→...→名前解決できるDNSサーバさん

#聞きたいこと
いくつかあります

①192.168.1.1の次に繋がるDNSサーバはどこに設定されている？
②ルータはキャッシュDNSサーバ機能を持っている？
③名前解決に到るまでに辿ったDNSサーバのIPアドレスの取得方法（LinuxまたはWinコマンド）

全てお答えいただかなくても構いませんので、わかることを教えていただけたら幸いです。
よろしくお願いします。

Answer 1

①192.168.1.1の次に繋がるDNSサーバはどこに設定されている？

②ルータはキャッシュDNSサーバ機能を持っている？

該当マシンの名前解決がルータのIP(ここでいう192.168.1.1)に委ねられているのであれば、ルータはキャッシュDNS、またはフォワーダの機能を持っていることになります。
お持ちの機器がどちらに該当(機能を持っているか?どちらの設定か?)するか調べてみては如何でしょうか。

③名前解決に到るまでに辿ったDNSサーバのIPアドレスの取得方法（LinuxまたはWinコマンド）

フォワーダの場合、IPCPネゴシエーションで取得したDNSサーバにリクエストを転送することになります。こちらは該当機器の設定情報を確認するしかないでしょう。

キャッシュDNSの場合は、リクエストしたレコードによりますが、基本はルートドメインから下位ドメインに再帰的にたどり、最終的に該当レコードを持つコンテンツDNSサーバに辿りつきます。
上記を探るコマンドについては情報を持ち合わせておりません。

Answer 2

①ルーター内に設定されています。ルーターがプロバイダー側から自動取得しているでしょう。
②おそらくキャッシュは持っていると思いますが、そこまで詳しくルーターのマニュアルには書いてない気がします。
③ルーターのウェブ管理画面からDNSサーバーアドレスが表示できるはずです。