受け取ったタイミングで自動的にアプリを開くことは可能なのでしょうか?
「開く=起動する」なら、application(open url...)が実行されている時点でアプリが起動しています。
Developer - application(_:open:sourceApplication:annotation:)より
Your implementation of this method should open the specified URL and update its user interface accordingly. If your app had to be launched to open the URL, the app calls the application(:willFinishLaunchingWithOptions:) and application(:didFinishLaunchingWithOptions:) methods first, followed by this method. The return values of those methods can be used to prevent this method from being called. (If the app is already running, only this method is called.)
(Google翻訳)
このメソッドを実装すると、指定されたURLが開き、それに応じてそのユーザーインターフェイスが更新されます。 URLを開くためにアプリを起動する必要がある場合は、最初にアプリケーション(:willFinishLaunchingWithOptions :)およびapplication(:didFinishLaunchingWithOptions :)メソッドが呼び出され、その後にこのメソッドが続きます。これらのメソッドの戻り値は、このメソッドが呼び出されないようにするために使用できます。 (アプリが既に実行されている場合は、このメソッドのみが呼び出されます。)
後は、UIApplication.shared.keyWindow?.rootViewControllerに表示したいUIViewControllerを指定すれば表示されるかと。
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