フラクタル図形の描画

Question

1.6次元のフラクタル図形を書け、という問題があるのですが、

1/aに縮小された図形がM個で構成されているD次元の図形に対して、
a^D=M
D=log_a（M）
D=（ln（M））/（ln（a））=1.6

なので、M=10^8、a=10^5
となったのですが、これでどう描画したらいいのかわかりませんでした。

○Mとaがあっているのか。
○どう描画するか
が知りたいです
よろしくお願いします

Comments

[set0gut1]

シェルピンスキーのギャスケットの次元が 1.5850… で、約 1.6 なので、これを書けという問題な気がしました。出題者に確認できるなら確認してみたほうが良いかもです。

Answer 1

aをどうしても整数にしたいなら
M=2^8=256、a=2^5=32が最小のようです（10がなぜ出てきたか不明）

Mはその性質上、整数である事が求められますが、
aの値は実数でも構いません

aの値に実数が使えるフラクタル図形も数多くあります
例えば2分木はその典型例です

2分木ですので M=2 です
1.6 = ln(2)/ln(a) を ln(a)について解くと
ln(a) = ln(2)/1.6
exp(ln(a)) = a なので両辺の値をexp()に入れてやると
a = exp(ln(2)/1.6) = 1.54221082540794...
とaの実数値が逆算できます

つまり枝の長さを1/a(=0.648419777325...)ずつ縮小して2分木を描画すれば、
次元1.6のフラクタル図形となるはずです

Answer 2

既にシェルビンスキーのギャスケット（シェルビンスキーの三角形）ではないかという記述がありますが、実際問題として、確かに相似図形からなるフラクタルの次元は D = log(a)*M で定義されます。
だからといって単純に当てはめてしまうと、
・ある図形はその図形の10万分の1（10^5） の縮小図形を、１億個（10^8）つなげたものである
ということになってしまいます。

　だとすると縦横１万ピクセルの黒い背景を考えて、そこに10万個の白ピクセルを置きます。このとき白ピクセル一個が、１万倍に拡大すると元の図形に見える、わけです。

　従ってフラクタルであることが分かるようにするためには、１万×１万で、１億ピクセル平方ないとダメですね。こんなの描画できるシステムなんてありません。
※白黒の2値だとしても、必要なバイト数は1.25*10^15 で、1.11PB に達します。これは「京」スーパーコンピュータの全ノードのメモリ量（1.26PB）でぎりぎりですねえ……