動作が繰り返し行われない（while文）

Question

前提・実現したいこと

偶数と素数をそれぞれ判別するプログラムを作っているのですが、whileを使うところを実行すると、期待した値が返ってきません。原因が分からず、対処に困っています。

該当のソースコード

S = 12
P = input("Please enter the number: ")
p = int(P)
while True:
    if p%2 == 0:
        p = p + 1
        print(p)
        break
    elif p == 1 or 3 or 5 or 7:
        S = S - p
        p = p + 2
        print(p)
    elif p%3 != 0:
        if p%5 != 0:
            if p%7 != 0:
                if p < S:
                    S = S - p
                    p = p + 2
                    print(p)
                else:
                    S = S - 1
                    if S == 0:
                        print(p)
                        break
                    else:
                        p = p + 2
                        print(p)
    else:
        p = p + 2
        print(p)

最初にS=12という値を作って(?)おく

1. pを入力する(input)
2. pが偶数か判別する(yesならp=p+1をして出力)
3. pが偶数でない場合、素数かどうかの判別をする

...まず、pが1,3,5,7のいずれかであるかを確かめ、違った場合は次に3と5と7で割れるかを試し、もし割れなかったら素数とみなすことにしました。
4. もし素数でなかった場合、p=p+2をし、2番に戻る(偶数かどうかを判別する)
5. 素数の場合、S(=12)よりpが小さいか判別する
6. p<Sの時、S=S-p, p=p+2をし、2番に戻る
7. p>=Sの時、S=S-1をし、S=0か確かめる
8. S=0の場合、pを出力してプログラムを終了する
9. S!=0の場合、p=p+2をして2番に戻る

というようなプログラムを作りたいと思っています。
しかし、なぜか2番に戻ることができません。実行してもへんてこな値になってしまいます。
ループの使い方がなっていないため、どなたか解決策のある方にご指摘していただきたいです。

Answer 1

直接的な原因は既にy_waiwaiさんが指摘されているように、
p == 1 or 3 or 5 or 7 が恒真式だからです。

>>> p = 42
>>> bool(p == 1 or 3 or 5 or 7)
True
>>>
>>> p = 'spam'
>>> bool(p == 1 or 3 or 5 or 7)
True

pが 1 もしくは 3, 5, 7 のいずれかであるという条件を書きたいなら、次のように書きます。

if p == 1 or p == 3 or p == 5 or p == 7:
    ...

あるいは

if p in (1, 3, 5, 7):
    ...

ただし、これらは素数判定に対しては全く無力な処理です。

pが偶数でない場合、素数かどうかの判別をする

...まず、pが1,3,5,7のいずれかであるかを確かめ、違った場合は次に3と5と7で割れるかを試し、もし割れなかったら素数とみなすことにしました。

例えば 22 は 3でも5でも7でも 割り切れませんが、素数ではありません。
素数判定用の関数を外部に切り出すのが簡単です。

def is_prime(n):
    """nが素数ならTrue, 合成数ならFalseを返す"""
    ...

効率を度外視すれば実装は難しくありませんので、書いてみると良いでしょう。

Answer 2

elif p == 1 or 3 or 5 or 7:

これは、

elif (((p == 1) or 3) or 5) or 7:

こういうことになりますが。