修正点は２点

１つ目は button.bind() の第２引数に渡すのは 関数となります。
ところが、現状は
button.bind("<Button-1>", MakeGraph(a_box, b_box, c_box, fig, canvas))
となっておりまして、これは 『MakeGraph() を実行してその戻り値(None)を第２引数に渡す』という意味になってしまいます。
今回は MakeGraph() に複数のパラメータを渡す必用がありそうですので、lambda でWrapして
button.bind("<Button-1>", lambda evt: MakeGraph(a_box, b_box, c_box, fig, canvas))
のように記述するとよいかと思います。

２つ目は MakeGraph() 関数内の
graph = tk.PhotoImage(file = "figure.png")
の処理ですが、 graph は ローカル変数 ですので、MakeGraph()関数から抜けると削除対象 となります。
その為
canvas.create_image(0,0, image = graph)
を行って Canvasに描画しても、直ぐに消えてしまうという現象が起きてしまいます。
とりあえずの対策としては、 graph をグローバル変数として設定すると良いかと思います。

以上の２点(のみ)を変更したコードを記載しましたので参考にしてください。

動作させてみていただくとお分かりになるかと思いますが、他にもまだ不具合はありそうです。が、とりあえず上記の変更にてグラフが描画されていることは確認できるかと思います。

import tkinter as tk
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt


#If you're in trouble, refer to "http://www.geocities.jp/m_hiroi/light/pytk01.html".

# Create entries
entry_w = 8
entry_y = 30

graph = None

def MakeGraph(a_box, b_box, c_box, fig, canvas):
    global graph

    # Get the coefficients
    coefficient_a = float(a_box.get())
    coefficient_b = float(b_box.get())
    coefficient_c = float(c_box.get())

    # Calcurate the quadratic equation
    x_min, x_max = -50, 50
    x = np.linspace(x_min, x_max)
    y = coefficient_a * x ** 2 + coefficient_b * x + coefficient_c

    ax.plot(x, y, linestyle = "--", color = "black", label = 'y = ax^2 + bx + c')

    graph = plt.savefig("figure.png")
    graph = tk.PhotoImage(file = "figure.png")

    canvas.create_image(0,0, image = graph)
    canvas.pack()

    print("Making a graph is finished.")

    return

root = tk.Tk()
root.title('Visualizer for quadratic curve')
root.geometry('800x600')


a_box = tk.Entry(width = entry_w)
a_box.insert(tk.END,"1")
a_box.pack()
b_box = tk.Entry(width = entry_w)
b_box.insert(tk.END,"2")
b_box.pack()
c_box = tk.Entry(width = entry_w)
c_box.insert(tk.END,"1")
c_box.pack()

fig = plt.figure(figsize = (1,1))
ax = fig.add_subplot(111)

canvas = tk.Canvas(root)

# Create button
button = tk.Button(root, text = 'Plot')
button.bind("<Button-1>", lambda evt: MakeGraph(a_box, b_box, c_box, fig, canvas))
button.pack()

root.mainloop()