<c++> 線分と点の最短距離の求め方

Question

二次元空間での、線分ABと点Cの最短距離の求め方を知りたいです。
下のようにPointとLineを定義して、公式に当てはめればいいだろうということは予想がつくのですが、点が線分の間にある場合と外にある場合の計算方法が理解できません。
よろしくお願いします。
struct Point
{
double x;
double y;
};

struct Line{
Point start;
Point end;
};

Answer 1

点と線分の距離の公式

から求めればいい。
線分の式は、公式ではax + by + c = 0なので、2点(x0, y0),(y1, y1)を通る線分の式から、a, b, cを求めて公式に当てはめれば求まります。

Answer 2

Qiita に 点と線分の距離を求める というわかりやすい記事があるので、参考にしてください。
線分の場合、点から線分へ垂線を下ろせない場合は、線分の端の近いほうの距離が最短距離となります。

#include <iostream>

struct Point
{
    double x;
    double y;
};

struct LineSegment
{
    Point start;
    Point end;
};

/**
   @brief 線分と点の距離を計算する。
   @param line 線分
   @param point 点
   @return ユークリッド距離
 */
double calc_dist(const LineSegment &line, const Point &point)
{
    double x0 = point.x, y0 = point.y;
    double x1 = line.start.x, y1 = line.start.y;
    double x2 = line.end.x, y2 = line.end.y;

    double a = x2 - x1;
    double b = y2 - y1;
    double a2 = a * a;
    double b2 = b * b;
    double r2 = a2 + b2;
    double tt = -(a * (x1 - x0) + b * (y1 - y0));

    if (tt < 0)
        return sqrt((x1 - x0) * (x1 - x0) + (y1 - y0) * (y1 - y0));
    else if (tt > r2)
        return sqrt((x2 - x0) * (x2 - x0) + (y2 - y0) * (y2 - y0));

    double f1 = a * (y1 - y0) - b * (x1 - x0);
    return sqrt((f1 * f1) / r2);
}

int main()
{
    Point point1 = {5, 10};
    LineSegment line1 = {{0, 0}, {10, 0}};
    double dist = calc_dist(line1, point1);
    std::cout << "dist1: " << dist << std::endl;  // 10


    Point point2 = {20, 10};
    LineSegment line2 = {{0, 0}, {10, 0}};
    dist = calc_dist(line2, point2);
    // 最短距離は線分の end (10. 0) との距離なので、sqrt(200) = 14.142.. なので合っている。
    std::cout << "dist2: " << dist << std::endl;  // 14.1421
}

不明な点があれば、補足します。