sinxのテイラー展開について

Question

学校で課題が出ました。
関数y=sin(x)のテイラー展開で、n番目の値が1*10^-8よりも小さくなるまでの級数を求め、任意のxに対するsin(x)を近似して求めよ。というのをc言語でやれというものです。
考えてみたのですが全く分かりませんでした。
教えていただけないでしょうか。
式はsinx = ・・・+(-1)^n /(2n + 1)! *x^2n+1 +・・・

Comments

[退会済みユーザー]

「n番目の値が1*10^-8よりも小さくなるまでの級数を求め」と書いてありますがsin(x)のテイラー展開は符号が交互に入れ替わるので「ｎ番目の値の絶対値」ではないでしょうか?

Answer 1

「任意のx」に対しては普通は無理です。

テイラー展開は特定の点近傍でしか有効ではありません。基準点を動かしたら式の作り直しが必要です。

まあ、周期関数なので一周範囲内での誤差が指定値よりも小さくできるならばシフトして対応するという強引な方法もありますが綺麗ではないです。

Answer 2

まず、n番目の項を求める式を確認しましょう。
次に、それをC言語のコードにしましょう。
そして、1から、n番目の項まで加算する C言語のコードを作成しましょう。

まずは、そこからです。
そして、指定の値 (1*10^-8)より、小さい値となるnの値を求め、その前(この場合、n-1 となる)まで、加算するようにすれば、良いと思いますが、どうでしょうか?

うまくいかなくでも、まず、コードを作成し、動かしてから、次の質問を。

Answer 3

こんにちは、順を追って説明します。

1.テイラー展開したときのn番目の係数を求める。

まずsin(x)のテイラー展開なのでnが偶数の時は0です。よって奇数の時だけ考えます。
係数は {(-1) ^ ((n - 1) / 2)} / n!　なのでこれをコードに落とし込みます。
ここで重要なのはn!を直接求めないことです。n!を求めると莫大な数値になり、計算に時間がかかったり
オーバーフローします。for文を使って2～nまでで割ってあげましょう。
そして、忘れてはいけない符号です。pow関数を用いて最後にかけてあげましょう。

double a_n(int n)
{
	double answer = 1.0;
	int i;

	for(i = 2; i <= n; i++){
		answer /= (double)i;
	}
	answer *= pow(-1,(n - 1) / 2);
	return answer;
}

2.1を用いて和を求める。
while文を用いて和を求めてあげます。修正依頼のところでも書きましたが、n番目の値の絶対値が
1.0 * 10 ^ (-8)より小さくなるまで足してあげます。1でも述べましたが、奇数の時だけを考えればいいので　それを考慮してコードは以下のようになります。

double my_sin(double x)
{
	int i = 1;
	double answer = x;
	
	while(fabs(a_n(2 * i + 1)) >= pow(10,-8)){
		answer += a_n(2 * i + 1) * pow(x,2 * i + 1);
		i++;
	}
	return answer;
}

3.実際にxに角度を入れて求める。
自分で実装した関数が正しく動いているか確認するため標準ライブラリーにあるsin(x)と比較しました。

int main(void)
{
	double data[7] = {1 / 6.0,1 / 4.0, 1 / 3.0, 1 / 2.0, 2 / 3.0, 3 / 4.0,1.0};
	int i;
	for(i = 0; i < 7; i++){
		printf("%f %f %f\n",data[i],sin(M_PI * data[i]),my_sin(M_PI * data[i]));
	}
	return 0;
}