フォードファルカーソンのプログラムの「F」の役目を知りたい。

Question

実現したいこと

以下プログラムの変数「F」（70~73行目）について何を示しているのかを知りたいです。
解説によると「スタートからゴールまでの各辺の最小容量」との記載があったのですが、よくわからないです。

前提

以下、該当プログラムです。

入力データ

6 9
0 1 5
0 3 5
1 3 37
1 2 4
3 2 3
3 4 9
2 4 56
2 5 9
4 5 2

該当のソースコード

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// グラフを表す構造体
struct Graph {
    // 辺を表す構造体
    // rev: 逆辺 (to, from) が G[to] の中で何番目の要素か
    // cap: 辺 (from, to) の容量
    struct Edge {
        int rev, from, to, cap;
        Edge(int r, int f, int t, int c) :
            rev(r), from(f), to(t), cap(c) {}
    };

    // 隣接リスト
    vector<vector<Edge>> list;

    // N: 頂点数
    Graph(int N = 0) : list(N) { }

    // グラフの頂点数取得
    size_t size() {
        return list.size();
    }
    
    // Graph インスタンスを G として，
    // G.list[v] を G[v] と書けるようにしておく
    vector<Edge> &operator [] (int i) {
        return list[i];
    }

    // 辺 e = (u, v) の逆辺 (v, u) を取得する
    Edge& redge(const Edge &e) {
        return list[e.to][e.rev];
    }
    void run_flow(Edge &e, int f) {
        e.cap -= f;
        redge(e).cap += f;
    }

   
    void addedge(int from, int to, int cap) {
        //cout<<"From="<<from<<endl;
        /*cout<<"To="<<to<<endl;
        cout<<"Cap="<<cap<<endl;*/
        int fromrev = (int)list[from].size();
        //cout << "fromrev="<<fromrev<<endl;
        int torev = (int)list[to].size();
        //cout << "torev="<<torev<<endl;
        list[from].push_back(Edge(torev, from, to, cap));
        list[to].push_back(Edge(fromrev, to, from, 0));
    }
};

struct FordFulkerson {
    static const int INF = 1 << 30; 
    vector<int> seen;

    FordFulkerson() { }

    // 残余グラフ上で s-t パスを見つける (深さ優先探索)
    // 返り値は s-t パス上の容量の最小値 (見つからなかったら 0)
    // f: s から v へ到達した過程の各辺の容量の最小値
    int fodfs(Graph &G, int v, int t, int f) {
        cout<<"V="<<v<<endl; //スタート
        cout<<"T="<<t<<endl; //ゴール
        cout<<"F="<<f<<endl;
        // 終端 t に到達したらリターン
        if (v == t) return f;

        // 深さ優先探索
        seen[v] = true;
        for (auto &e : G[v]) {
            cout<<"Seen[e.to]="<<seen[e.to]<<endl;
            if (seen[e.to]) continue;

            
            cout<<"e.cap="<<e.cap<<endl;
            if (e.cap == 0) continue;

         
            int flow = fodfs(G, e.to, t, min(f, e.cap));
            cout << "Flow=" <<flow << endl;

            // s-t パスが見つからなかったら次辺を試す
            if (flow == 0) continue;

            // 辺 e に容量 flow のフローを流す
            G.run_flow(e, flow);

            // s-t パスを見つけたらパス上最小容量を返す
            return flow;
        }

        // s-t パスが見つからなかったことを示す
        return 0;
    }

    // グラフ G の s-t 間の最大流量を求める
    // ただしリターン時に G は残余グラフになる
    int solve(Graph &G, int s, int t) {
        int res = 0;

        // 残余グラフに s-t パスがなくなるまで反復
        while (true) {
            seen.assign((int)G.size(), 0);
            int flow = fodfs(G, s, t, INF);

            // s-t パスが見つからなかったら終了
            if (flow == 0) return res;

            // 答えを加算
            res += flow;
        }

        // no reach
        return 0;
    }
};

int main() {
    // グラフの入力
    // N: 頂点数、M: 辺数
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    Graph G(N);
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        int u, v, c;
        cin >> u >> v >> c;

        // 容量 c の辺 (u, v) を張る
        G.addedge(u, v, c);
    }

    // フォード・ファルカーソン法
    FordFulkerson ff;
    int s = 0, t = N - 1;
    cout << ff.solve(G, s, t) << endl;
}

試したこと

• 関係しそうな変数の出力（V,T）

➡Vが深さ優先の始点、Tが終点というのはわかりました。だが、Fの解決には結びつかず...。

• 深さ優先の際に使う変数の出力

➡Seen[e.to]やe.capもどういう役割かはわかりませんが、関係なさそう...。

出力（一部抜粋）

V=0
T=5
F=1073741824
Seen[e.to]=0
e.cap=5
V=1
T=5
F=5
Seen[e.to]=1
Seen[e.to]=0
e.cap=37
V=3
T=5
F=5
Seen[e.to]=1
Seen[e.to]=1
Seen[e.to]=0
e.cap=3
V=2
T=5
F=3
Seen[e.to]=1
Seen[e.to]=1
Seen[e.to]=0
e.cap=56
V=4
T=5
F=3
Seen[e.to]=1
Seen[e.to]=1
Seen[e.to]=0
e.cap=2
V=5
T=5
F=2
Flow=2
Flow=2
Flow=2
Flow=2
Flow=2

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

抽象的な疑問で申し訳ないですが、𠮟咤激励含めて些細なことでも構いませんので、よろしくお願いいたします。
※実行環境：Paiza

Answer 1

「ChatGPT(GPT-4)]により生成された文章です」

このコードは、Ford-Fulkerson アルゴリズムを使用して、与えられたグラフにおける最大フロー問題を解くためのものです。具体的には、ソース（始点）からシンク（終点）までの間で流れることができる最大のフロー量を計算します。

あなたが言及した変数 F（70〜73行目にある f）は、Ford-Fulkerson アルゴリズムにおける核心的な概念です。この変数 f は、ある経路（パス）における「残余容量（residual capacity）」の最小値を保持します。

残余容量（Residual Capacity）とは
残余容量は、ある経路の各辺において、まだどれだけのフローを追加で流すことができるかを示します。この値は、その辺の容量と、既にその辺を通っているフローの量の差によって決まります。

変数 F の役割
アルゴリズムは、ソース（始点）からシンク（終点）までの様々な経路を探索します。各経路を探索する際に、その経路に含まれる辺の中で最も小さい残余容量（すなわち最も「狭い」部分）が、その経路を通過できるフローの量を決定します。

fodfs関数では、再帰的に呼び出されるたびに、変数 f がその時点での経路の最小残余容量として更新されます。これにより、アルゴリズムは各経路における最大の可能フロー量を見つけることができます。

アルゴリズムのプロセス
ソースからシンクへのパスを見つけます。
そのパスに沿って最小の残余容量（f）を見つけます。
そのフローをパスに沿って流し、フローを反映してグラフ（残余グラフ）を更新します。
もうパスが見つからなくなるまで、このプロセスを繰り返します。
最終的に、これらのパスに沿って流されたフローの合計が、ソースからシンクまでの最大フローとなります。