同一クラス内で@Asyncつけていないメソッドから@Asyncをつけたメソッドを呼ぶ場合に非同期処理されない

前提

同一クラス内で@Asyncつけていないメソッド、@Asyncをつけたメソッドがあり、
@Asyncつけていないメソッドから@Asyncをつけたメソッドを呼びたい。

実現したいこと

一部のメソッドだけ@Asyncアノテーションを付与して非同期処理を実現したい。

発生している問題・エラーメッセージ

同一クラス内で@Asyncつけていないメソッドから@Asyncをつけたメソッドを呼ぶと非同期処理されない。
クラスを分ければ非同期処理される。

該当のソースコード

java
1@Service
2public class TestService {
3
4  public String test() throws Exception {
5    // すぐ終わる軽い処理
6    async();
7    return "OK";
8  }
9
10  @Async
11  public void async() throws Exception {
12    // 重たい処理
13    System.out.println("start");
14    Thread.sleep(3000);
15    System.out.println("finish");
16  }
17
18}

java
1@Configuration
2@EnableAsync
3public class WebConfig implements WebMvcConfigurer {
4
5  @Bean
6  public Executor executor() {
7    ThreadPoolTaskExecutor executor = new ThreadPoolTaskExecutor();
8    executor.setCorePoolSize(50);
9    executor.initialize();
10    return executor;
11  }
12
13}

試したこと

上述のコードで、test()メソッドを呼ぶと非同期にならずasync()の終了を待たされます。
async()を直接呼べば、async()の終了を待たずに処理が終わります。
async()部分を別クラスに切り出せばやりたいことは実現できるのですが、それ以外に方法はないのでしょうか？