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- PとH1の距離を _d1_ , PとH2の距離を _d2_, PとH3の距離を _d3_ とします。
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- このとき所与の円が三角形ABCの（いずれかの辺に接する場合も含めて、）内部にある必要条件は以下です。
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_r_ ≦ min { _d1_, _d2_, _d3_ }
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_r_ ≦ min { _d1_, _d2_, _d3_ } --------- [1]
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すなわち 「_r_ が _d1_, _d2_, _d3_ のどれよりも大きくない」こと
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です。
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- ただし上記の[1]は、円が三角形の内部にあるための**必要条件であるけれども十分条件ではありません。**
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- そこで、条件[1] にもうひとつ何か2つめの条件を加えることで7つに分割された領域のうちのひとつである三角形ABCの中に円が収まっている必要十分条件にすればよいのですが、そのもうひとつの条件としては
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円の中心Pが三角形ABCの内側にある。ただし外周は含まない。 ---- [2]
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円の中心Pが三角形ABCの内側にある。ただし外周は含まない。 --------- [2]
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が満たされればよいです。
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- 所与の三角形をなす三点をA, B, C とします。
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- 所与の円の中心をPとし、半径を _r_ とします。
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- AとBを通る直線をL1, BとCを通る直線をL2, CとAを通る直線をL3 とします。(各辺を両端ともに延長して無限に長く伸ばして各直線L1, L2, L3にする、ということです。）
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- P からL1に下ろした垂線の足をH1とします。同様に PからL2に下ろした垂線の足をH2, PからL3に下ろした垂線の足をH3 とします。
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- PとH1の距離を _d1_ , PとH2の距離を _d2_, PとH3の距離を _d3_ とします。
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- このとき所与の円が三角形ABCの（いずれかの辺に接する場合も含めて、）内部にある必要条件は以下です。
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_r_ ≦ min { _d1_, _d2_, _d3_ } すなわち 「_r_ が _d1_, _d2_, _d3_ のどれよりも大きくない」こと --- [1]
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です。
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- ただし上記の[1]は、円が三角形の内部にあるための**必要条件であるけれども十分条件ではありません。**
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- では [1] が満たされるとき、平面に描いた絵では何が言えるかというと、先のように辺AB, 辺BC, 辺CAを結んで延長した直線L1, L2, L3 を引くと、これらの直線を境界線として平面全体が三角形ABCの内部とその周りの6個の計7個の部分に分割されますが、[1] が満たされるとき半径 _r_ の円はこれら7つの領域のうちのどれかひとつの中に（境界線に接することも許容し、）収まることになります。つまり2つ以上の領域にまたがることがないです。
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- そこで、条件[1] にもうひとつ何か2つめの条件を加えることで7つに分割された領域のうちのひとつである三角形ABCの中に円が収まっている必要十分条件にすればよいのですが、そのもうひとつの条件としては
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+
円の中心Pが三角形ABCの内側にある。ただし外周は含まない。 ---- [2]
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が満たされればよいです。
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- すなわち、与えられた円と三角形が[1]と[2]の両方を満たすならば、円は三角形の（いずれかの辺に接する場合も含め）内部に含まれます。
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### 追記
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+
上記の[1]かつ[2] を満たす円、つまり三角形ABCの内部に含まれる円の半径 _r_ が最大値をとるとき円はどの辺とも接します。すなわち _r_ = _d1_ = _d2_ = _d3_ となります。このときの円を三角形ABCの内接円(incircle) 、中心を三角形ABCの内心(incenter) と呼びます。内心は三角形ABCの3つの角それぞれの二等分線が交わる一点として求められます。
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### 追記2
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+
上記で回答したのは、所与の円が所与の三角形の（いずれかの辺に接する場合も含めて、）内部にある必要十分条件です。したがって、質問の「実現したいこと」の図にある、3つの円のうち上から二つ目の（三角形の一辺と2点で交わるような）円は三角形の内部に収まっていないものと判断されます。
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回答の取り消し
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- 所与の三角形をなす三点をA, B, C とします。
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- ~~所与の三角形をなす三点をA, B, C とします。~~
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- 所与の円の中心をPとし、半径を _r_ とします。
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- ~~所与の円の中心をPとし、半径を _r_ とします。~~
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- AとBを通る直線をL1, BとCを通る直線をL2, CとAを通る直線をL3 とします。
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- -~~AとBを通る直線をL1, BとCを通る直線をL2, CとAを通る直線をL3 とします。~~
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- P からL1に下ろした垂線の足をH1とします。同様に PからL2に下ろした垂線の足をH2, PからL3に下ろした垂線の足をH3 とします。
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+
- ~~P からL1に下ろした垂線の足をH1とします。同様に PからL2に下ろした垂線の足をH2, PからL3に下ろした垂線の足をH3 とします。~~
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- PとH1の距離を _d1_ , PとH2の距離を _d2_, PとH3の距離を _d3_ とします。
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+
- ~~PとH1の距離を _d1_ , PとH2の距離を _d2_, PとH3の距離を _d3_ とします。~~
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- このとき所与の円が三角形ABCの（いずれかの辺に接する場合も含めて、）内部にある必要十分条件は以下です。
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- ~~このとき所与の円が三角形ABCの（いずれかの辺に接する場合も含めて、）内部にある必要十分条件は以下です。~~
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~~_r_ ≦ min { _d1_, _d2_, _d3_ }~~
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すなわち 「_r_ が _d1_, _d2_, _d3_ のどれよりも大きくない」ことです。
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~~すなわち 「_r_ が _d1_, _d2_, _d3_ のどれよりも大きくない」ことです。~~
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### 追記
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### ~~追記~~
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-
上記を満たす _r_ が最大値をとるときの円はどの辺とも接します。すなわち _r_ = _d1_ = _d2_ = _d3_ となります。このときの円を三角形ABCの内接円(incircle) 、中心を三角形ABCの内心(incenter) と呼びます。内心は三角形ABCの3つの角それぞれの二等分線が交わる一点として求められます。
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+
~~上記を満たす _r_ が最大値をとるときの円はどの辺とも接します。すなわち _r_ = _d1_ = _d2_ = _d3_ となります。このときの円を三角形ABCの内接円(incircle) 、中心を三角形ABCの内心(incenter) と呼びます。内心は三角形ABCの3つの角それぞれの二等分線が交わる一点として求められます。~~
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### ~~追記2~~
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上記で回答したのは、所与の円が所与の三角形の（いずれかの辺に接する場合も含めて、）内部にある必要十分条件です。したがって、質問の「実現したいこと」の図にある、3つの円のうち上から二つ目の（三角形の一辺と2点で交わるような）円は三角形の内部に収まっていないものと判断されます。
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+
~~上記で回答したのは、所与の円が所与の三角形の（いずれかの辺に接する場合も含めて、）内部にある必要十分条件です。したがって、質問の「実現したいこと」の図にある、3つの円のうち上から二つ目の（三角形の一辺と2点で交わるような）円は三角形の内部に収まっていないものと判断されます。~~
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追記2
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### 追記
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上記を満たす _r_ が最大値をとるときの円はどの辺とも接します。すなわち _r_ = _d1_ = _d2_ = _d3_ となります。このときの円を三角形ABCの内接円(incircle) 、中心を三角形ABCの内心(incenter) と呼びます。内心は三角形ABCの3つの角それぞれの二等分線が交わる一点として求められます。
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### 追記2
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+
上記で回答したのは、所与の円が所与の三角形の（いずれかの辺に接する場合も含めて、）内部にある必要十分条件です。したがって、質問の「実現したいこと」の図にある、3つの円のうち上から二つ目の（三角形の一辺と2点で交わるような）円は三角形の内部に収まっていないものと判断されます。
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追記
answer
CHANGED
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@@ -10,4 +10,6 @@
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すなわち 「_r_ が _d1_, _d2_, _d3_ のどれよりも大きくない」ことです。
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### 追記
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上記を満たす _r_ が最大値をとるときの円はどの辺とも接します。すなわち _r_ = _d1_ = _d2_ = _d3_ となります。このときの円を三角形ABCの内接円(incircle) 、中心を三角形ABCの内心(incenter) と呼びます。内心は三角形ABCの3つの角それぞれの二等分線が交わる一点として求められます。
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